Lois de paroi compatibles pour les modèles de turbulence à bas-Reynolds

Ce mémoire présente le développement et la mise en application de lois de paroi compatibles avec le modèle de turbulence k-ϵ de Launder-Sharma. Elles sont dites compatibles ou consistantes, car elles résultent de l'intégration jusqu'à la paroi d'un modèle de turbulence bas-Reynolds appliqué à un écoulement de Couette turbulent. On utilise pour cela un solveur éléments finis 1D avec adaptation de maillage (CL1D). La solution de ce problème fournit le profil de la solution dans la région de proche paroi, lequel est tabulé pour imposer les conditions limites compatibles dans un solveur 2D (CADYF). Cette approche réduit considérablement le coût de calcul comparativement à l'intégration jusqu'à la paroi, puisque le solveur 2D n'a pas à résoudre l'entièreté de la couche limite. La perte de précision est minimale, d'une part parce que les conditions limites sont compatibles avec le modèle, ce qui assure que la solution ne dépend pas de la position du premier point de calcul, et d'autre part parce que l'adaptation de maillage permet de contrôler la précision et la taille du tableau de données. Le modèle k-ϵ de Launder-Sharma est sélectionné, notamment en raison de son implémentation partielle existante dans les solveurs 1D et 2D, mais aussi en raison de difficultés numériques lors d'essais préliminaires avec d'autres modèles de turbulence. Une attention particulière est portée à la modélisation des termes source bas-Reynolds. Le terme source dans l'équation de ϵ pose doublement problème: son écriture est ambiguë et il n'est pas directement applicable en éléments finis. L'ambiguïté est levée par une revue de littérature. Pour permettre l'implémentation dans un cadre d'éléments finis, la dérivée seconde apparaissant dans le terme source de Launder-Sharma est réécrite en introduisant une variable de relèvement, ce qui nécessite la résolution d'une équation différentielle supplémentaire, laquelle doit également être implémentée dans les solveurs. Les solveurs 1D et 2D ont fait l'objet de tests de vérification systématique par la méthode des solutions manufacturées, ainsi qu'en étudiant l'influence de la distance de raccordement de la loi de paroi sur la solution. Nous avons aussi procédé à la validation des prédictions en comparant nos prédictions vérifiées: à des données DNS pour un écoulement de Couette turbulent, à des corrélations semi-empiriques pour une couche limite sur une plaque plane et à des données expérimentales pour une marche descendante. Les lois de paroi consistantes sont un bon outil pour la modélisation des parois dans ces cas, mais présentent des faiblesses près des points de stagnation, là où les hypothèses sur lesquelles elles sont fondées ne tiennent pas.

Abstract

This thesis presents the development and application of compatible wall functions, using the Launder-Sharma k-ϵ turbulence model. These wall functions are said to be compatible or consistent as they result from the wall-integration of a low-Reynolds turbulence model applied to turbulent Couette flow. This is done in a 1D finite element solver based on adaptive remeshing (CL1D). Solving this problem yields the dimensionless solution in the near wall region, which is tabulated and used to impose model-compatible boundary conditions in a 2D solver (CADYF). The compatible wall function approach reduces the computational cost as the boundary layer does not need to be wall-resolved. The resulting loss of accuracy is minimal because the boundary conditions are compatible with the turbulence model, ensuring that the solution is independent of the location of the first computational point, and because we rely on adaptive remeshing to control the accuracy of the tabulated data. We selected the Launder-Sharma k-ϵ model because a prior partial implementation existed in the 1D and 2D solvers, but also because we encountered numerical difficulties during preliminary tests with other turbulence models. Close attention must be paid to the modelling of the low-Reynolds source terms, especially in the ϵ-equation. First, the expression of this term is ambiguous. We select its expression from a literature review. Second, it introduces a second order derivative which requires special treatment in a finite element framework. To implement it, we rewrite the second order derivative by introducing a special-purpose projection variable. This requires solving an extra differential equation, and to implement it in the solvers as well. Both the 1D and 2D solvers were subjected to systematic verification tests, by the method of manufactured solutions, as well as by studying the influence of the wall function reconnection distance on the solution. We then proceeded to validation by comparing our verified predictions to DNS data for the Couette flow, semi-empirical correlations for the flat plate boundary layer, and experimental data for the backward facing step. Consistent wall functions are an interesting tool for wall modelling and give good results in our applications, except in the vicinity of stagnation points, where the underlying assumptions no longer hold.