Optimisation de boîtes noires à précision variable

Ce projet s'insère dans le cadre d'un domaine de mathématiques appliquées qu'on appelle optimisation. Il s'agit de l'étude de problèmes dans lesquels on souhaite maximiser ou minimiser une certaine quantité d'intérêt qu'on nommera fonction objectif, tout en respectant certaines limitations éventuelles qu'on désignera par contraintes. Dans notre cadre d'étude, la fonction objectif est une boîte noire, terme désignant une fonction dont la forme analytique est inconnue. La seule information qu'on puisse obtenir est la valeur qu'elle prend lorsqu'on l'évalue en un point, sans qu'on sache comment cette valeur a été calculée. Ainsi, il faut trouver un point minimisant la valeur renvoyée, et ce sans connaître le comportement de la fonction. Enfin, on supposera dans ce projet que les valeurs renvoyées par la fonction objectif ne sont pas exactes. L'objectif de ce travail est d'optimiser des fonction dites bruitées, et dont l'amplitude du bruit est réglable. Toute évaluation de la fonction objectif renvoie la véritable valeur de la fonction plus une erreur aléatoire. L'amplitude du bruit sera alors l'écart-type de cette erreur. Ainsi, une boîte noire à précision variable est une fonction inconnue (dont on ne peut pas prédire le comportement) qui ne peut jamais être évaluée de façon certaine, à cause d'une erreur aléatoire apparaissant à chaque évaluation, mais dont on peut limiter l'amplitude en réglant la précision du calcul. On dispose ici d'un «levier» de précision, offrant un compromis entre garantie de qualité de la valeur observée (à haute précision) au prix d'un grand temps de calcul, et incertitude entourant la valeur renvoyée (à faible précision) mais obtenue rapidement. Les recherches résumées dans ce document ont pour but de proposer une façon d'optimiser de telles fonctions, c'est-à-dire un moyen de trouver un point minimisant la valeur exacte qu'elles devraient renvoyer en l'absence d'erreur. Un tel point devrait également pouvoir être calculé de façon efficace, en un temps raisonnable et un effort de calcul faible. Pour cela, nous exploitons la précision variable pour toujours estimer la fonction objectif avec une précision au juste nécessaire : suffisamment grande pour affirmer qu'un point est meilleur qu'un autre, et assez basse pour que ces calculs soient les plus rapides possibles.