Effective porosity and dispersion in stratified aquifers: closed-form solutions

Ce Rapport Technique présente des solutions analytiques inédites pour la migration d'un traceur non réactif par écoulement plan ou radial dans un aquifère idéal stratifié, dans le cas d'une distribution lognormale de la conductivité hydraulique K. Des solutions sont obtenues pour la porosité effective et la dispersivité longitudinale de l'aquifère homogène hydrauliquement équivalent. La recherche conduisant à ces nouvelles solutions a été motivée par le fait que l'équation classique d'advection–dispersion n'explique pas trois caractéristiques des courbes de restitution des essais in situ de traceurs non réactifs: (1) arrivée précoce, (2) effet d'échelle pour la dispersion longitudinale, et (3) courbe avec une longue queue. Les problèmes de traceurs sont résolus d'abord pour un nombre fini de souscouches afin de bien illustrer les résultats clés, et ensuite pour une distribution lognormale de K. Pour une injection soutenue du traceur, la nouvelle équation de la courbe de restitution ressemble à l'équation d'advection–dispersion d'un aquifère homogène, mais avec une arrivée précoce et plus de distorsion. Des distributions, normale et lognormale, de K donnent des courbes de restitution similaires seulement dans le cas d'une faible variance. Une nouvelle équation est obtenue pour la dispersivité longitudinale : elle explique les résultats de terrain collectés par divers auteurs, leur variation avec la distance ainsi qu'avec la variance de ln (K). Pour une injection temporaire de traceur, la courbe de restitution théorique, obtenue pour une distribution lognormale de K, présente elle aussi une arrivée précoce, une distorsion et une longue queue, qui sont les trois caractéristiques des essais de traceurs in situ.

Abstract

This Technical Report provides original closed-form solutions for the migration of a non-reactive tracer due to either plane or radial seepage in an ideally stratified aquifer, in the case of a lognormal K distribution. New solutions are obtained for the effective porosity and longitudinal dispersivity of the hydraulically equivalent homogenous aquifer. The research leading to these new solutions was initiated because the classical advection-dispersion equation does not explain three features of break-through curves of field non-reactive tracer tests: (1) early arrival, (2) scale-dependent longitudinal dispersion, and (3) long tail. Initially, the tracer test problems are solved for a finite number of sub-layers to illustrate the key findings, then for a lognormal distribution of the hydraulic conductivity, K. For steady tracer injection and a lognormal K distribution, the new break-through curve equation looks like the advection-diffusion equation in a homogenous aquifer, but with an earlier arrival and more distortion. The normal and lognormal K distributions yield similar break-through curves only for a case of small variance. The new equation for the longitudinal dispersivity explains field values which have been collected by various authors, their variation with distance and also with the variance of ln (K). For a tracer injection of limited duration, the predicted break-through curve for a lognormal K distribution also yields the early arrival, a BTC distortion and long tail, which are the three features of field tracer tests.