Vérification de la méthode de Boltzmann sur réseau en vue de calculer la perméabilité de milieux poreux

Le présent mémoire aborde plusieurs aspects de la méthode de Boltzmann sur réseau (Lattice Boltzmann Method), de la théorie à l'application. En premier lieu, le cadre théorique entourant les équations employées par cette méthode est abordé afin de mettre en contexte leur signification physique. En ce sens, la théorie cinétique des gaz est brièvement abordée, puis un système d'équations intégro-différentielles est présenté afin de décrire le comportement microscopique des particules d'un écoulement. Ces équations sont composées de l'équation de Boltzmann ainsi que de l'approximation BGK (Bhatnagar–Gross–Krook) pour l'effet des collisions entre particules. Les différentes étapes de discrétisation menant d'un système d'équations continues à un système d'équations discrétisées sont présentées afin d'aboutir à la méthode de Boltzmann sur réseau, sous sa forme la plus simple. Cette forme permet de simuler la dynamique d'écoulements incompressibles, instationnaires, isothermes et subsoniques. Ensuite, la librairie C++ Palabos est employée afin de profiter d'une structure de programmation orientée objet et d'une implémentation optimisée pour le calcul en parallèle sur plusieurs processeurs. L'application de la méthode LB visée est la simulation de l'infiltration d'eau dans les sols granulaires. Ces sols sont considérés comme des milieux poreux et leur comportement est modélisé par la perméabilité définie selon la loi de Darcy. Le but éventuel serait donc de calculer numériquement la perméabilité de ces milieux poreux en fonction de divers paramètres, tels que leur géométrie et leur teneur en eau. On profiterait alors de la capacité de la méthode LB à simuler des écoulements en milieux poreux afin d'améliorer les modèles hydrologiques macroscopiques à partir de simulations au niveau microscopique. Le type d'écoulement concerné est un écoulement diphasique immiscible (air et eau) à travers un milieu poreux. Dans le présent mémoire, on s'intéresse au cas plus simple constitué d'un écoulement à une seule phase (eau), ce qui correspond au cas particulier de sol saturé en eau. L'écoulement est simulé à travers un milieu granulaire idéalisé composé d'un réseau structuré de sphères. Plusieurs cas tests sont abordés afin de vérifier la méthode LB et d'observer l'effet de divers paramètres sur la précision, la stabilité et le temps de calcul. Les cas tests sont l'écoulement de Poiseuille en 2D et 3D, la cavité carrée 2D avec paroi entraînée, l'écoulement de Poiseuille 2D avec obstacle cylindrique, et un écoulement 3D à travers un réseau de sphères. Les paramètres étudiés sont entre autres : le nombre de Reynolds, les pas de discrétisation temporelle et spatiale, les conditions aux frontières, les opérateurs de collision.