Vérification de la méthode de Boltzmann sur réseau en vue de calculer la perméabilité de milieux poreux

Le présent mémoire aborde plusieurs aspects de la méthode de Boltzmann sur réseau (Lattice Boltzmann Method), de la théorie à l'application. En premier lieu, le cadre théorique entourant les équations employées par cette méthode est abordé afin de mettre en contexte leur signification physique. En ce sens, la théorie cinétique des gaz est brièvement abordée, puis un système d'équations intégro-différentielles est présenté afin de décrire le comportement microscopique des particules d'un écoulement. Ces équations sont composées de l'équation de Boltzmann ainsi que de l'approximation BGK (Bhatnagar–Gross–Krook) pour l'effet des collisions entre particules. Les différentes étapes de discrétisation menant d'un système d'équations continues à un système d'équations discrétisées sont présentées afin d'aboutir à la méthode de Boltzmann sur réseau, sous sa forme la plus simple. Cette forme permet de simuler la dynamique d'écoulements incompressibles, instationnaires, isothermes et subsoniques. Ensuite, la librairie C++ Palabos est employée afin de profiter d'une structure de programmation orientée objet et d'une implémentation optimisée pour le calcul en parallèle sur plusieurs processeurs. L'application de la méthode LB visée est la simulation de l'infiltration d'eau dans les sols granulaires. Ces sols sont considérés comme des milieux poreux et leur comportement est modélisé par la perméabilité définie selon la loi de Darcy. Le but éventuel serait donc de calculer numériquement la perméabilité de ces milieux poreux en fonction de divers paramètres, tels que leur géométrie et leur teneur en eau. On profiterait alors de la capacité de la méthode LB à simuler des écoulements en milieux poreux afin d'améliorer les modèles hydrologiques macroscopiques à partir de simulations au niveau microscopique. Le type d'écoulement concerné est un écoulement diphasique immiscible (air et eau) à travers un milieu poreux. Dans le présent mémoire, on s'intéresse au cas plus simple constitué d'un écoulement à une seule phase (eau), ce qui correspond au cas particulier de sol saturé en eau. L'écoulement est simulé à travers un milieu granulaire idéalisé composé d'un réseau structuré de sphères. Plusieurs cas tests sont abordés afin de vérifier la méthode LB et d'observer l'effet de divers paramètres sur la précision, la stabilité et le temps de calcul. Les cas tests sont l'écoulement de Poiseuille en 2D et 3D, la cavité carrée 2D avec paroi entraînée, l'écoulement de Poiseuille 2D avec obstacle cylindrique, et un écoulement 3D à travers un réseau de sphères. Les paramètres étudiés sont entre autres : le nombre de Reynolds, les pas de discrétisation temporelle et spatiale, les conditions aux frontières, les opérateurs de collision.

Abstract

This paper discusses several aspects of the Lattice Boltzmann Method (LBM), from theory to application. The theoretical framework surrounding the equations used by this method is first introduced in order to put into context their physical meaning. In this sense, the kinetic theory of gases is briefly discussed, then a system of integro-differential equations is presented to describe the microscopic behavior of the particles of a flow. This system is composed of the Boltzmann equation as well as the BGK (Bhatnagar–Gross–Krook) approximation for the effect of the collisions between particles. The different discretization steps leading from a system of continuous equations to a system of discretized equations are presented in order to recover the simplest form of the Lattice Boltzmann Method. This form allows to simulate the dynamics of incompressible, unsteady, isothermal and subsonic flows. Then, the Palabos C++ library is used to take advantage of an object-oriented programming structure and an optimized implementation for parallel computing. The anticipated application of LBM is the simulation of water infiltration in granular soils. These soils are considered as porous media and their behavior is modeled by the permeability defined by the Darcy law. The aim would be to numerically calculate the permeability of these porous media as a function of various parameters, such as their geometry and water content. The ability of the LBM to simulate flows in porous media could be used to improve macroscopic hydrological models from simulations at the microscopic level. The type of flow involved is a two-phase flow (air and water) through a porous medium. In the present paper, we are interested in the simpler case consisting of a single-phase flow (water), which corresponds to the particular case of soil saturated with water. The flow is computed through an idealized granular medium composed of a structured arrangement of spheres. Several test cases are considered in order to verify the LB method and observe the effect of various parameters on accuracy, stability and computation time. The test cases are Poiseuille flow in 2D and 3D, 2D lid driven cavity, 2D Poiseuille flow with cylindrical obstacle, and 3D flow through a network of spheres. Some of the parameters studied are : the Reynolds number, temporal and spatial discretization steps, boundary conditions, collision operators. Some of the numerical effects discussed are : the compressibility of the method, the nonconservation of the mass of certain boundary conditions, the effects of geometric discretization of the mesh.