Méthodes sans factorisation pour la tomographie à rayons-X en coordonnées cylindriques

Cet ouvrage s'inscrit à la suite de travaux portant sur l'étude du développement de resténoses par l'entremise de la tomographie à rayons X, ce qui requiert la reconstruction d'images haute résolution. À cette fin, nous considérons un algorithme de reconstruction itératif, basé sur le maximum a posteriori, qui permet une modélisation plus réaliste du processus d'acquisition des données. Soulignons que notre modélisation produit un problème aux moindres carrés régularisé sous contraintes de bornes. Les méthodes de reconstruction itératives sont reconnues pour produire des images de qualité, au détriment d'une augmentation drastique du stockage mémoire nécessaire et du temps de calcul. Afin de pallier la consommation mémoire prohibitive impartie par une discrétisation du sujet en coordonnées cartésiennes, nous utilisons une discrétisation en coordonnées cylindriques, qui permet d'exploiter la symétrie du processus d'acquisition des données. Celle-ci mène à un opérateur de projection bloc-circulant. Le mauvais conditionnement de cet opérateur est mitigé par la mise à l'échelle diagonale dans le domaine de Fourier, mais transforme les contraintes de bornes en inégalités linéaires. Ce travail a donc pour but d'étudier les différents solveurs sans factorisation pouvant résoudre un problème aux moindres carrés régularisé sous contraintes d'inégalités linéaires et d'identifier la méthode la plus performante. Nous émettons l'hypothèse qu'il est possible de projeter efficacement dans l'ensemble d'inégalités linéaires en traitant le dual du problème de projection, qui correspond à un problème aux moindres carrés sous contraintes de bornes. Suivant cette hypothèse, nous nous concentrons sur les méthodes d'ensemble actif à base de projections, notamment le gradient projeté spectral, une méthode d'ordre un, et une variante de l'algorithme TRON, une méthode d'ordre deux. Pour ce qui a trait au problème de projection, nous considérons différentes saveurs de méthodes de Newton projetées pour problèmes bornés. Nos résultats démontrent que notre variante de TRON résout efficacement le problème de reconstruction mis à l'échelle en coordonnées cylindriques. Elle offre même une performance similaire à L-BFGS-B sur le problème (non mis à l'échelle) en coordonnées cartésiennes, tout en ayant une empreinte mémoire considérablement inférieure. Nous discutons également de l'importance de l'exactitude des projections pour des méthodes à base de projection inexactes, telle l'approche que nous avons considérée.