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Méthodes sans factorisation pour la tomographie à rayons-X en coordonnées cylindriques

Maxime McLaughlin

Masters thesis (2017)

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Cite this document: McLaughlin, M. (2017). Méthodes sans factorisation pour la tomographie à rayons-X en coordonnées cylindriques (Masters thesis, École Polytechnique de Montréal). Retrieved from https://publications.polymtl.ca/2742/
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Abstract

RÉSUMÉ : Cet ouvrage s’inscrit à la suite de travaux portant sur l’étude du développement de resténoses par l’entremise de la tomographie à rayons X, ce qui requiert la reconstruction d’images haute résolution. À cette fin, nous considérons un algorithme de reconstruction itératif, basé sur le maximum a posteriori, qui permet une modélisation plus réaliste du processus d’acquisition des données. Soulignons que notre modélisation produit un problème aux moindres carrés régularisé sous contraintes de bornes. Les méthodes de reconstruction itératives sont reconnues pour produire des images de qualité, au détriment d’une augmentation drastique du stockage mémoire nécessaire et du temps de calcul. Afin de pallier la consommation mémoire prohibitive impartie par une discrétisation du sujet en coordonnées cartésiennes, nous utilisons une discrétisation en coordonnées cylindriques, qui permet d’exploiter la symétrie du processus d’acquisition des données. Celle-ci mène à un opérateur de projection bloc-circulant. Le mauvais conditionnement de cet opérateur est mitigé par la mise à l’échelle diagonale dans le domaine de Fourier, mais transforme les contraintes de bornes en inégalités linéaires. Ce travail a donc pour but d’étudier les différents solveurs sans factorisation pouvant résoudre un problème aux moindres carrés régularisé sous contraintes d’inégalités linéaires et d’identifier la méthode la plus performante. Nous émettons l’hypothèse qu’il est possible de projeter efficacement dans l’ensemble d’inégalités linéaires en traitant le dual du problème de projection, qui correspond à un problème aux moindres carrés sous contraintes de bornes. Suivant cette hypothèse, nous nous concentrons sur les méthodes d’ensemble actif à base de projections, notamment le gradient projeté spectral, une méthode d’ordre un, et une variante de l’algorithme TRON, une méthode d’ordre deux. Pour ce qui a trait au problème de projection, nous considérons différentes saveurs de méthodes de Newton projetées pour problèmes bornés. Nos résultats démontrent que notre variante de TRON résout efficacement le problème de reconstruction mis à l’échelle en coordonnées cylindriques. Elle offre même une performance similaire à L-BFGS-B sur le problème (non mis à l’échelle) en coordonnées cartésiennes, tout en ayant une empreinte mémoire considérablement inférieure. Nous discutons également de l’importance de l’exactitude des projections pour des méthodes à base de projection inexactes, telle l’approche que nous avons considérée.----------ABSTRACT : This work was done in the context of previously established results relating to restenosis development via X-ray tomography, which calls for the reconstruction of high resolution images. To this effect, we consider an iterative reconstruction algorithm that relies on maximum a posteriori estimation and that describes the physical phenomena occuring during the data acquisition process more accurately. We stress that this procedure comes down to minimizing a regularized least squares problem under positivity constraints. Iterative reconstruction methods are known to produce high quality images at the expense of greater memory requirements and computational time. In order to circumvent the prohibitive memory requirements that occur when the object is discretized under cartesian coordinates, we use cylindrical coordinates, which allows us to exploit symmetries in the data acquisition process. In our algorithm, those symmetries materialize as a block-circulant projection matrix. The poor conditioning of this operator is mitigated by a diagonal scaling in the Fourier domain, but transforms the bound constraints into linear inequalities. Hence, our main objective is to study the various factorization-free solvers that can be applied to convex non-linear problems under linear inequalities and to identify the most efficient approach. Our work revolves around the hypothesis that efficient projections into the constraint set can be designed by considering the dual projection problem, which comes down to a bounded least squares problem. Consequently, we focus our attention on projection-based active-set methods, namely the spectral projected gradient and an adaptation of TRON, respectively first-order and second-order methods. For the projection problem, we consider different flavors of projected Newton method for bounded problems. Our results show that our variant of TRON efficently solves the rescaled reconstruction problem under cylindrical coordinates. It is even competitive with the likes of L-BFGS-B applied to the reconstruction problem under cartesian coordinates, while consuming drastically less memory. We also discuss the importance of the exactness — or accuracy — of the projections for inexact projection-based methods, such as those we considered.

Open Access document in PolyPublie
Department: Département de mathématiques et de génie industriel
Academic/Research Directors: Dominique Orban and Yves Goussard
Date Deposited: 16 Nov 2017 14:36
Last Modified: 16 Jun 2021 17:09
PolyPublie URL: https://publications.polymtl.ca/2742/

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