Invariance positive et observateur intervalles appliqués aux systèmes linéaires à retards sous contraintes

Cette thèse porte sur l'étude du problème de la commande avec contraintes des systèmes linéaires continus à retards. Deux approches dans la littérature se sont données à développer des méthodes adéquates pour examiner la stabilité et contribuer à des procédures et outils de stabilisation. La première, considère l'effet de la saturation, tandis que la deuxième approche, basée sur la théorie d'invariance positive, repose principalement sur la conception d'une loi de contrôle non saturante ayant un comportement linéaire dans le domaine des contraintes. Des résultats concernant l'application du concept d'invariance positive à la stabilisation des systèmes à retards soumis à des contraintes ont été développés, mais restent restrictifs, de fait qu'ils sont indépendants du retard, un paramètre essentiel du système. On développe alors, dans la première partie de cette thèse des conditions nécessaires et suffisantes dépendantes du retard afin de garantir l'invariance positive de domaine des contraintes par rapport aux trajectoires de systèmes autonomes à retard. Ce résultat repose sur la transformation de premier ordre, basée sur la formule de Newton-Leibniz, de système original à retard discret, en un système à retard distribué. Une fonction de Lyapunov-Razumikhin associée au système à retard distribué garantissant la stabilité asymptotique dépendante de retard de système original est proposée. L'objectif principal visé dans la deuxième partie de cette thèse est d'appliquer le résultat du concept d'invariance positive dépendante du retard au problème de la commande sous contraintes, dissymétriques ainsi que symétriques, des systèmes à retards. Ainsi des conditions permettant la synthèse d'un régulateur par retour d'état stabilisant le système en boucle fermée en présence des contraintes, sont données. Ces conditions permettent de formuler un algorithme basé sur des schémas de Programmation Non Linéaire (NLP), ayant pour objectif la détermination du régulateur stabilisant le système en boucle fermée avec une borne maximale du retard. En effet la loi de retour d'état calculée assure, d'une part, la stabilité asymptotique de système sans retard, et d'autre part, la maintenir pour une valeur d'une borne maximale de retard, tout en respectant les contraintes : c'est la loi de commande sous contraint robuste vis à vis le retard. Les résultats obtenus sont intéressants et plus généraux que ceux développés dans la littérature. La troisième partie de cette thèse montre, pour la première fois à notre connaissance, que les observateurs intervalles, en appliquant le concept d'invariance positive, peuvent apporter des réponses intéressantes au problème de la commande sous contraintes des systèmes linéaires à retards, variable dans le temps.