Méthode des équations de sensibilités continues d'ordre élevé pour les paramètres de valeur

Ce mémoire présente une méthode générique permettant de générer automatiquement les équations de sensibilités continues d'ordre arbitrairement élevé n pour un nombre quelconque de paramètres q. Une sensibilité est le taux de variation des variables d'écoulement par rapport à un paramètre. Par exemple, la sensibilité de la vitesse u par rapport à un paramètre quelconque α est exprimée par : ∆u . Les sensibilités d'ordre n sont donc les dérivées n-ièmes des variables d'écoulement par rapport à un ou plusieurs paramètres. Dans le cadre de ce mémoire, nous abordons uniquement les paramètres de valeur. L'optimisation de la performance de systèmes mécaniques ou aéronautiques nécessite généralement de nombreuses évaluations d'une fonction objectif F mesurant la performance du système à optimiser. Ces évaluations ont pour but d'identifier les valeurs des paramètres qui conduisent à une performance optimale. Habituellement, cela requiert la solution numérique des équations différentielles régissant le système (e.g. : Navier-Stokes). Plus le système est complexe, plus cela exige des ressources de calcul importantes. Le coût de chacune des simulations est habituellement la résolution d'un système non-linéaire. Il s'agit d'une opération fort coûteuse. Ce mémoire explore donc la faisabilité d'utiliser une série de Taylor d'ordre élevé n dans l'espace des paramètres comme substitut à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles afin de réduire le coût du design optimal. L'utilisation de la série de Taylor évite d'avoir à refaire des simulations complètes du système qui sont généralement très coûteuses. Une analyse simple indique que le nombre de termes dans l'équation des sensibilités croît rapidement avec l'ordre n des sensibilités. Pour être utile en pratique, cette approche doit automatiser le processus de différentiation ainsi que le processus de génération des systèmes algébriques résultant de la discrétisation par éléments finis. Nous avons élaboré un algorithme générique basé sur le multinôme de Newton pour déterminer la structure des équations différentielles des sensibilités. Nous avons aussi conçu un algorithme pour générer automatiquement le système d'équations algébriques. L'innovation de ce travail réside dans la formulation générale et automatique des équations différentielles des sensibilités d'ordre élevé n qui privilégie une approche continue plutôt que discrète. Cela signifie que les équations aux dérivées partielles sont d'abord différentiées à l'ordre souhaité. Puis, elles sont discrétisées afin d'être résolues numériquement par la méthode des éléments finis.