Méthode des équations de sensibilités continues d'ordre élevé pour les paramètres de valeur

Ce mémoire présente une méthode générique permettant de générer automatiquement les équations de sensibilités continues d'ordre arbitrairement élevé n pour un nombre quelconque de paramètres q. Une sensibilité est le taux de variation des variables d'écoulement par rapport à un paramètre. Par exemple, la sensibilité de la vitesse u par rapport à un paramètre quelconque α est exprimée par : ∆u . Les sensibilités d'ordre n sont donc les dérivées n-ièmes des variables d'écoulement par rapport à un ou plusieurs paramètres. Dans le cadre de ce mémoire, nous abordons uniquement les paramètres de valeur. L'optimisation de la performance de systèmes mécaniques ou aéronautiques nécessite généralement de nombreuses évaluations d'une fonction objectif F mesurant la performance du système à optimiser. Ces évaluations ont pour but d'identifier les valeurs des paramètres qui conduisent à une performance optimale. Habituellement, cela requiert la solution numérique des équations différentielles régissant le système (e.g. : Navier-Stokes). Plus le système est complexe, plus cela exige des ressources de calcul importantes. Le coût de chacune des simulations est habituellement la résolution d'un système non-linéaire. Il s'agit d'une opération fort coûteuse. Ce mémoire explore donc la faisabilité d'utiliser une série de Taylor d'ordre élevé n dans l'espace des paramètres comme substitut à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles afin de réduire le coût du design optimal. L'utilisation de la série de Taylor évite d'avoir à refaire des simulations complètes du système qui sont généralement très coûteuses. Une analyse simple indique que le nombre de termes dans l'équation des sensibilités croît rapidement avec l'ordre n des sensibilités. Pour être utile en pratique, cette approche doit automatiser le processus de différentiation ainsi que le processus de génération des systèmes algébriques résultant de la discrétisation par éléments finis. Nous avons élaboré un algorithme générique basé sur le multinôme de Newton pour déterminer la structure des équations différentielles des sensibilités. Nous avons aussi conçu un algorithme pour générer automatiquement le système d'équations algébriques. L'innovation de ce travail réside dans la formulation générale et automatique des équations différentielles des sensibilités d'ordre élevé n qui privilégie une approche continue plutôt que discrète. Cela signifie que les équations aux dérivées partielles sont d'abord différentiées à l'ordre souhaité. Puis, elles sont discrétisées afin d'être résolues numériquement par la méthode des éléments finis.

Abstract

This work introduces a generic method for the automatic development and resolution of continuous sensitivity equations of arbitrary high order n for any number q of parameters. A sensitivity is defined as the dependence of fluid variables (e.g.: velocity field, pressure) with respect to parameters such as the geometric components or physical properties. In other words, a sensitivity of order n is the nth derivative of the flow variables with respect to parameter(s). For instance, the nth sensitivity of the velocity u with respect to the parameter α is expressed by (∂^n u)/(∂α^n ). For this work, we study only value parameters (e.g.: physical properties) which do not influence on the geometry. The sensitivity is useful in the context of design optimization. Performance optimization of mechanical and aeronautical systems typically requires many evaluations of an objective function which measures the performance of the system to be optimized. These evaluations are achieved in order to identify the parameter values that lead to an optimal performance. In general, theses evaluations require the numerical solution of the partial differential equations governing the system (e.g.: Navier-Stokes). Theses systems are usually nonlinear. Consequently, the cost of each simulation is significant. Also, the cost related to computing ressources increases with the complexity of the system. This work studies therefore the possibility of using the Taylor series of high order n in parameter space to approximate the numerical solution of partial differential equations. This represents a cost effective alternative to solving partial differential equations. A simple analysis shows that the number of terms in the nth order sensitivity equation grows quickly with n. To be of practical value, this approach must provide an automatic and generic method for the determination of the structure of the differential equations for the sensitivities. More importantly, we also need to develop a generic algorithm to generate the finite element systems for the sensitivity equations. The contribution of this project is the general formulation and automatic development of the sensitivity equations of high order n which favors an approach continuous rather than discrete. This means that the partial differential equations are first differentiated. They are then discretized in order to be solved numerically using the finite element method. This general expression built to automatically produce sensitivity equations is based on the multinomial Newton.