Adaptive Space-Time Finite Element Method in High Temperature Superconductivity

Cette thèse porte sur le développement d'une méthode d'éléments finis adaptative pour discrétiser un modèle électromagnétique issu du domaine de la supraconductivité à haute température critique. Dans les faits, ce modèle consiste en une version non-linéaire du problème de courants de Foucault classique en électromagnétisme, dans lequel la non-linéarité engendre un état mixte de régions supraconductrices et de régions normales. La méthode développée dans cette thèse peut être appliquée directement à la conception et à l'optimisation de dispositifs supraconducteurs à haute température critique, sans s'y limiter. Le problème mathématique correspondant à ce modèle, que l'on appelle p-rotationnel (p-curl en anglais), est une équation différentielle aux dérivées partielles de type évolutionnaire monotone dont les solutions de la forme faible appartiennent à un espace fonctionnel de Sobolev de type L^p. Étant donnée la présence de singularités dans les solutions, les méthodes numériques développées à ce jour pour résoudre ce probléme se généralisent mal aux domaines 2D et 3D. La principale difficulté provient de l'absence d'estimateur d'erreur qui permettrait un contrôle adaptatif de la finesse du maillage et du pas de temps. Cette thèse présente deux contributions principales. Premièrement, nous avons développé et implémenté une méthode d'éléments finis adaptative basée sur une formulation espace-temps. Afin de faciliter l'adaptivité, nous avons conçu une structure arborescente espace-temps, qui se construit de façon récursive en fonction du raffinement tout en préservant l'irrégularité de premier niveau (1-irregularity) du maillage espace-temps. De plus, nous avons développé un opérateur d'interpolation qui permet de préserver la continuité des degrés de liberté sur les arêtes “sans voisins” (hanging edges). La seconde contribution principale de la thèse est le développement d'un estimateur d'erreur a posteriori basé sur le résidu, et nous avons prouvé mathématiquement sa fiabilité dans le cas semi-discret. Un élément clé de cette preuve fut d'utiliser une nouvelle version de la décomposition d'Helmholtz pour l'espace 〖W_0〗^p (curl;Ω), requis pour démonter une variante de l'orthogonalité de Galerkin. La fiabilité d'une grandeur physique d'intérêt, appelée pertes AC, a aussi été démontrée. Des résultats numériques en 1D et 2D sont aussi présentés dans les cas uniformes et adaptatifs. En bref, cette recherche se distingue des travaux précédents sur le p-rotationnel parce qu'elle se base sur une analyse mathématique théorique rigoureuse pour guider le développement et l'analyse des nouvelles techniques proposées.

Abstract

This thesis is on the development of an adaptive finite element method to discretize a model from high temperature superconductivity. In essence, this model is a nonlinear version of the classical eddy current problem from electromagnetics, where the nonlinear resistivity gives rise to the behaviour of mixed states between normal and superconducting regions. An application for this method is in the design optimization of high temperature superconducting devices. This mathematical problem, which we called the p-curl problem, is an evolutionary monotone-type partial differential equation with weak solutions belonging to a L^p-type Sobolev function space. Due to singularities which arise in the solutions, numerical methods developed for this problem so far have been inefficient to general 2D or 3D domains. The main difficulty has been the lack of error estimator in order to adaptively control the mesh refinement and time-stepping schemes. The primary contributions of this work are two-fold. First, we develop and implement the adaptive finite element method based on a continuous space-time formulation. To facilitate adaptivity, we introduce the space-time simplex tree structure, a recursive refinement procedure to preserve 1-irregularity of the space-time mesh and a local interpolation operator for preserving the continuity of degrees of freedom on hanging edges. Second, we derived residual-based a posteriori error estimators and showed its reliability in the semi-discretization setting. A key ingredient in proving reliability was a new version of the Helmholtz decomposition for 〖W_0〗^p (curl;Ω) necessary in showing a variant of the Galerkin orthogonality. Reliability for a quantity of interest, AC loss, was also proved. Numerical results are shown for the uniform and adaptive discretization in 1D/2D. This research distinguishes itself from previous numerical studies of the p-curl problem because it relies on rigorous mathematical theory to guide the development and analysis of these new techniques.