Fast Iterative Reconstruction in X-Ray Tomography Using Polar Coordinates

Notre objectif est de réduire l'espace mémoire nécessaire ainsi que le temps de reconstruction excessif des méthodes itératives en imagerie à rayons X. En général, les méthodes itératives permettent d'obtenir une meilleure qualité de reconstruction que celles obtenues par FBP. Cela est dû à l'utilisation d'un modèle plus précis dans le processus de reconstruction. En effet, le modèle prend en compte le bruit et peut introduire un certain a priori sur l'image à reconstruire. Le problème peut alors être résolu par des techniques d'optimisation. En reconstruction d'images par méthodes itératives, la taille importante de la matrice de projection joue un rôle prédominant dans la mémoire requise par ce type de méthodes. Le temps de reconstruction, quant à lui, est rallongé par le grand nombre d'opérations de projection et rétroprojection. Ces aspects nécessitent une attention particulière lors de reconstructions par approches itératives. L'objectif de cette maîtrise a été de s'attaquer à ces deux aspects en développant une technique efficace de reconstruction d'images médicales. L'hypothèse de rayons X monochromatiques est utilisée et l'invariance en coordonnées polaires des tomographes commerciaux est considérée. En effet, l'utilisation de coordonnées polaire pour représenter l'objet permet d'obtenir une certaine redondance dans les coefficients de la matrice de projection. Celle-ci est parcimonieuse et a une structure bloc-circulante, ce qui mène à une réduction significative de l'espace mémoire nécessaire pour la stocker. Mais ce type de représentation entraîne des questions de qualité de reconstruction ainsi que des questions sur les aspects numériques des méthodes. Ce travail aborde les problèmes soulevés. Comme mentionné plus haut, le temps de reconstruction en tomographie rayons X est essentiellement déterminé par le temps de calcul des opérations de projection et rétroprojection qui sont réalisées à chaque itération. La parallélisation des calculs permet de réduire le temps de reconstruction de manière significative, ceci est abordé ici. De plus, la conception de préconditionneurs adaptés à la fonction objectif entraîne une amélioration de la vitesse de convergence des méthodes itératives. Ce travail consiste en une étude préliminaire sur les performances de reconstruction d'images tomographiques en se basant sur une représentation polaire des objets à imager. Les résultats obtenues dans ce mémoire peuvent être utilisés pour la reconstruction d'images cliniques 3D. Il est aussi possible d'étendre les algorithmes développés ici à un modèle polychromatique et aussi de réduire les artefacts métalliques.

Abstract

We aim at reducing the high memory need and the long reconstruction time of the iterative methods for reconstructing the X-ray tomography images. In general, iterative methods are capable of providing a higher quality reconstructed image compared to those obtained through filtered backprojection. This is because in the iterative methods, a more accurate model is used in the reconstruction process. The model used in this technique accounts for the noise and can incorporate some prior knowledge on the image and therefore can provide images with higher quality compared to those obtained using the filtered backprojection technique. The reconstruction problem can then be solved using optimization techniques. In using iterative methods for image reconstruction, the large size of the projection matrix is the main cause of having high memory need in this method. Moreover, requiring to perform projection and backprojection operations numerous times is the main reason for the long reconstruction time. These problems need to be addressed properly for wider adoption of the iterative approaches in image reconstuction. The work presented herein aims at addressing these problems by developing an efficient technique which makes reconstruction of clinical size images possible. This will be done in a simple framework under the assumption of a monochromatic X-ray source. The objective is fulfilled by considering the fact that the geometry of commercial tomographs is invariant in polar coordinates. Using polar coordinates for representing the object, the coefficients of the projection matrix will be highly redundant. The matrix is also very sparse and has a block-circulant structure. Consequently, using polar coordinates for representing the object leads to a significant decrease in memory requirement. There are some questions associated with this type of representation which include numerical efficiency of the reconstruction process using this type of representation and actual quality of reconstructed image. This work tries to study and address these questions. As already mentioned, reconstruction time of tomography problems is mainly determined by the computation time of projection and backprojection operations that need to be performed at each iteration. The parallel implementation of these operations can reduce the reconstruction time significantly and is addressed here. Moreover, by designing preconditioners tailored to the structure of the objective function a sufficient increase in the convergence speed of iterative methods was achieved. The current work is a preliminary study on the efficiency of using polar coordinates for representing the object and reconstructing the tomography images. The results which have been obtained in this work can now be used for developing the 3D reconstruction of clinical data. We can also use the developed algorithms in this work to expand the current framework to