Développement de méthodes d'ordre élevé pour les écoulements non-newtoniens : application aux écoulements autour d'une sphère

Les liquides non-newtoniens, particulièrement les rhéofluidifiants, abondent dans l’industrie chimique. Ils sont caractérisés par une variation de leur viscosité en fonction du taux de cisaillement. Pour les rhéofluidifiants, plus le taux de cisaillement est élevé, plus la viscosité diminue localement. Ce projet vise à intégrer cette particularité à Lethe, un logiciel de mécanique des fluides libre d’accès en développement actif à Polytechnique Montréal. Le logiciel exploite la méthode des éléments finis pour résoudre une formulation dite «faible» des équations de Navier-Stokes incompressibles. Le projet consiste à redéfinir la formulation faible de l’équation de quantité de mouvement de Navier-Stokes incompressible en considérant la viscosité variable en fonction du taux de cisaillement. Pour modéliser la viscosité en fonction du taux de cisaillement, les modèles rhéologiques de la loi de puissance et de Carreau sont utilisés. Le nouveau solveur est développé et implémenté dans le logiciel. La vérification du code est faite avec la méthode de solutions manufacturées (MMS) ; l’ordre de convergence de l’erreur n’est pas affecté par la modification de la formulation faible. L’article publié porte sur les écoulements rhéofluidifiants autour d’une sphère avec l’emploi des modèles de loi de puissance et de Carreau, où on s’intéresse particulièrement aux effets rhéofluidifiants sur la force de traînée. La plage de Reynolds couverte est Re ∈ [0.1, 100], avec n ∈ [0.3, 1.0] et, pour les fluides de Carreau, la plage de temps de relaxation adimensionnel est Λ ∈ [0.1, 100]. Les coefficients de traînée pour les simulations avec le modèle de loi de puissance sont comparés à des résultats de la littérature : on constate une adéquation avec ceux-ci. Une corrélation pour les coefficients de traînée est proposée pour les fluides de loi de puissance, avec un coefficient de détermination R2 = 0.998. Les coefficients de traînée en fonction de Re et de n sont donnés pour l’ensemble des Λ étudiés. Comme les courbes de coefficient de traînée des fluides de Carreau ne sont pas comprises entre celles du fluide newtonien et celles d’un fluide de loi de puissance, à n égaux, il a semblé impossible pour les auteur.e.s d’élaborer une corrélation qui ait un sens physique pour le coefficient de traînée pour les fluides de Carreau. Les résultats de Carreau en régime de Stokes sont comparés à des résultats empiriques de la littérature, ce qui constitue un cas de validation de la méthode. Des profils de viscosités sont montrés à Re = {0.1, 100} avec n = {0.3, 0.9} pour la loi de puissance, et ils sont comparés à des profils de viscosité pour des fluides de Carreau à Λ = 4, pour les mêmes Re et n. On constate que pour les simulations avec le modèle de loi de puissance, l’étendue de viscosité est largement supérieure que pour les simulations avec le modèle de Carreau. En effet, le modèle de loi de puissance est mal posé pour des schémas d’écoulement où on retrouve des zones à faible taux de cisaillement. Ceci explique d’ailleurs les difficultés rencontrées par le solveur linéaire pour converger à de faibles n.

Abstract

Non-Newtonian fluids are abundant in the chemical processing industry, especially shear thinning fluids, that encounter a reduction in viscosity when shear stress is applied. This research project aims to incorporate this particularity of non-Newtonian fluids to Lethe, an open-source finite-element fluid dynamics software developed at Polytechnique Montréal. The software solves the incompressible Navier-Stokes equations in the weak form. The idea behind this project is to redefine the weak form of the momentum Navier-Stokes equation to encounter for the non-Newtonian effects. The power-law model and the Carreau model are used to model the viscosity as a function of shear rate. This new solver is developed and implemented in Lethe. We verify the implementation using the Method of Manufactured Solutions (MMS) and demonstrate that the implementation preserves the order of accuracy of the finite element scheme.The model is used to simulate shear thinning flow past a sphere, using both the power-law model and the Carreau model, where we investigate the impact of shear thinning behaviours on the drag force. The simulations cover Re ∈ [0.1, 100] and n ∈ [0.1, 1.0], and the Carreau modeled simulations cover dimensionless relaxation times Λ ∈ [0.1, 100]. Drag coefficients using the power-law model are compared to results in the literature. The drag coefficients from the literature fall on the proposed correlation. We provide a correlation for the drag coefficient calculated using the power-law model. The resulting coefficient of determination is R2 = 0.998. Drag coefficients for Carreau modeled simulations are also given. Since the drag coefficient is not bound by the Newtonian predictions and the power-law model predictions, the authors concluded it was not possible to have a correlation for Carreau simulations that had physical meaning. Viscosity profiles are shown for Re = {0.1, 100} with n = {0.3, 0.9} for the power-law model.Carreau modeled viscosity profiles are shown for the same Re and n range at Λ = 4. We notice that the viscosity spectrum is much larger for power-law simulations than for Carreau simulations.The power-law model is ill-posed for regions of no to low shear rates, and this leads in excessively high viscosity far from the sphere. This partially explains the difficulties encountered with the linear solver for low values of n.