Développement de méthodes d'ordre élevé pour les écoulements non-newtoniens : application aux écoulements autour d'une sphère

Les liquides non-newtoniens, particulièrement les rhéofluidifiants, abondent dans l’industrie chimique. Ils sont caractérisés par une variation de leur viscosité en fonction du taux de cisaillement. Pour les rhéofluidifiants, plus le taux de cisaillement est élevé, plus la viscosité diminue localement. Ce projet vise à intégrer cette particularité à Lethe, un logiciel de mécanique des fluides libre d’accès en développement actif à Polytechnique Montréal. Le logiciel exploite la méthode des éléments finis pour résoudre une formulation dite «faible» des équations de Navier-Stokes incompressibles. Le projet consiste à redéfinir la formulation faible de l’équation de quantité de mouvement de Navier-Stokes incompressible en considérant la viscosité variable en fonction du taux de cisaillement. Pour modéliser la viscosité en fonction du taux de cisaillement, les modèles rhéologiques de la loi de puissance et de Carreau sont utilisés. Le nouveau solveur est développé et implémenté dans le logiciel. La vérification du code est faite avec la méthode de solutions manufacturées (MMS) ; l’ordre de convergence de l’erreur n’est pas affecté par la modification de la formulation faible. L’article publié porte sur les écoulements rhéofluidifiants autour d’une sphère avec l’emploi des modèles de loi de puissance et de Carreau, où on s’intéresse particulièrement aux effets rhéofluidifiants sur la force de traînée. La plage de Reynolds couverte est Re ∈ [0.1, 100], avec n ∈ [0.3, 1.0] et, pour les fluides de Carreau, la plage de temps de relaxation adimensionnel est Λ ∈ [0.1, 100]. Les coefficients de traînée pour les simulations avec le modèle de loi de puissance sont comparés à des résultats de la littérature : on constate une adéquation avec ceux-ci. Une corrélation pour les coefficients de traînée est proposée pour les fluides de loi de puissance, avec un coefficient de détermination R2 = 0.998. Les coefficients de traînée en fonction de Re et de n sont donnés pour l’ensemble des Λ étudiés. Comme les courbes de coefficient de traînée des fluides de Carreau ne sont pas comprises entre celles du fluide newtonien et celles d’un fluide de loi de puissance, à n égaux, il a semblé impossible pour les auteur.e.s d’élaborer une corrélation qui ait un sens physique pour le coefficient de traînée pour les fluides de Carreau. Les résultats de Carreau en régime de Stokes sont comparés à des résultats empiriques de la littérature, ce qui constitue un cas de validation de la méthode. Des profils de viscosités sont montrés à Re = {0.1, 100} avec n = {0.3, 0.9} pour la loi de puissance, et ils sont comparés à des profils de viscosité pour des fluides de Carreau à Λ = 4, pour les mêmes Re et n. On constate que pour les simulations avec le modèle de loi de puissance, l’étendue de viscosité est largement supérieure que pour les simulations avec le modèle de Carreau. En effet, le modèle de loi de puissance est mal posé pour des schémas d’écoulement où on retrouve des zones à faible taux de cisaillement. Ceci explique d’ailleurs les difficultés rencontrées par le solveur linéaire pour converger à de faibles n.