Étude des conditions frontières pour la méthode des éléments discrets dans les milieux granulaires

La méthode des éléments discrets (DEM) est une méthode numérique généralement utilisée sous sa forme explicite pour modéliser des matériaux granulaires. Cette méthode modélise la position et le déplacement de particules individuelles et leurs interactions à travers leur chevauchement. Pour s'assurer de la validité des prédictions de la DEM, il faut toutefois bien contrôler les sources d'erreurs introduites par les différents algorithmes utilisés lors de la simulation de matériaux granulaires. Ce mémoire tente de reproduire un essai de cisaillement direct, tiré de l'article [1], d'un échantillon composé de billes d'acier supposées identiques. Dans cet essai, un couvercle comprime un échantillon contenu dans une boite qui est cisaillée. La simulation a utilisé la soft DEM et le modèle de contact de Hertz-Mindlin. La simulation a été effectuée à l'aide du logiciel à code source ouvert LIGGGHTS. Les paramètres physiques fournis par l'article ont été utilisés à l'exception de la densité qui a été multipliée par un facteur de 108 pour permettre l'utilisation d'un pas de temps environ 104 fois plus grand et de l'accélération gravitationnelle qui a été diminuée par un facteur de 10−8 pour obtenir un poids des billes d'acier identique aux billes réelles. Le coefficient de restitution nécessaire au modèle de Hertz-Mindlin a été choisi à 0.8, car il n'est pas fourni par l'article. Cette reproduction a pour but de tester deux méthodes permettant de maintenir une contrainte constante comme condition limite et de quantifier l'effet d'erreurs de la contrainte normale sur la déformation d'un échantillon. La première méthode utilise un correcteur PID pour contrôler un couvercle comprimant un échantillon et est couramment utilisée dans des simulations similaires. Nous avons toutefois eu de la difficulté à paramétrer ce correcteur PID et avons obtenu une erreur relative de 6% sur la contrainte normale dans le meilleur cas. La deuxième méthode, que nous proposons, cherche une position du couvercle qui est un zéro de l'erreur entre la force désirée et la force appliquée par le couvercle en fonction de sa position. Cette recherche est faite à l'aide de la méthode de Newton. Cette nouvelle méthode obtient une erreur relative de 3% sur la contrainte normale sans la nécessité de sélectionner une paramétrisation, ce qui simplifie son utilisation. Ces deux méthodes ont aussi été testées sur des modèles simplifiés de l'interaction entre le couvercle et l'échantillon. Ces modèles considèrent des particules immobiles et des forces de contact linéaires et non linéaires. Dans ces modèles simplifiés, lorsque le modèle de contact produit des forces linéaires, il est possible de paramétrer le correcteur PID pour qu'il corrige une erreur sur la contrainte normale en une seule itération. Il n'est toutefois pas possible de résoudre analytiquement les équations obtenues lorsque le modèle de contact génère des forces de contact non linéaires, comme c'est le cas pour le modèle de Hertz-Mindlin. On ne peut donc pas trouver analytiquement les paramètres qui minimisent le nombre d'itérations requises par le correcteur PID pour corriger une erreur sur la contrainte dans le cas où les forces de contact sont non linéaires. La nouvelle méthode de contrôle proposée dans ce mémoire rencontre des diffcultés lorsque l'on prend en compte la vitesse des particules dans la force générée par le modèle de contact de Hertz-Mindlin. L'erreur de la force appliquée possède alors des dérivées de très grande amplitude, des dérivées nulles et des changements de signe de la dérivée seconde qui nuisent à la convergence de la méthode de Newton. Pour minimiser ces problèmes, nous bornons la dérivée de cette erreur et nous utilisons la méthode de la bissection pour trouver un zéro lorsque le signe de l'erreur change entre deux itérations de la méthode de Newton. Les résultats de nos simulations, lorsque comparés à l'essai de laboratoire de [1], semblent indiquer que les erreurs sur la contrainte normale ne sont pas des sources d'erreurs importantes dans nos simulations. En effet, on constate que les courbes de déformations de nos simulations sont similaires entre elles malgré les différentes contraintes normales maintenues lors des simulations, mais nos simulations ne prédisent pas le comportement des échantillons réels. Il semble probable qu'une source d'erreur plus importante ait été négligée.