Étude des conditions frontières pour la méthode des éléments discrets dans les milieux granulaires

La méthode des éléments discrets (DEM) est une méthode numérique généralement utilisée sous sa forme explicite pour modéliser des matériaux granulaires. Cette méthode modélise la position et le déplacement de particules individuelles et leurs interactions à travers leur chevauchement. Pour s'assurer de la validité des prédictions de la DEM, il faut toutefois bien contrôler les sources d'erreurs introduites par les différents algorithmes utilisés lors de la simulation de matériaux granulaires. Ce mémoire tente de reproduire un essai de cisaillement direct, tiré de l'article [1], d'un échantillon composé de billes d'acier supposées identiques. Dans cet essai, un couvercle comprime un échantillon contenu dans une boite qui est cisaillée. La simulation a utilisé la soft DEM et le modèle de contact de Hertz-Mindlin. La simulation a été effectuée à l'aide du logiciel à code source ouvert LIGGGHTS. Les paramètres physiques fournis par l'article ont été utilisés à l'exception de la densité qui a été multipliée par un facteur de 108 pour permettre l'utilisation d'un pas de temps environ 104 fois plus grand et de l'accélération gravitationnelle qui a été diminuée par un facteur de 10−8 pour obtenir un poids des billes d'acier identique aux billes réelles. Le coefficient de restitution nécessaire au modèle de Hertz-Mindlin a été choisi à 0.8, car il n'est pas fourni par l'article. Cette reproduction a pour but de tester deux méthodes permettant de maintenir une contrainte constante comme condition limite et de quantifier l'effet d'erreurs de la contrainte normale sur la déformation d'un échantillon. La première méthode utilise un correcteur PID pour contrôler un couvercle comprimant un échantillon et est couramment utilisée dans des simulations similaires. Nous avons toutefois eu de la difficulté à paramétrer ce correcteur PID et avons obtenu une erreur relative de 6% sur la contrainte normale dans le meilleur cas. La deuxième méthode, que nous proposons, cherche une position du couvercle qui est un zéro de l'erreur entre la force désirée et la force appliquée par le couvercle en fonction de sa position. Cette recherche est faite à l'aide de la méthode de Newton. Cette nouvelle méthode obtient une erreur relative de 3% sur la contrainte normale sans la nécessité de sélectionner une paramétrisation, ce qui simplifie son utilisation. Ces deux méthodes ont aussi été testées sur des modèles simplifiés de l'interaction entre le couvercle et l'échantillon. Ces modèles considèrent des particules immobiles et des forces de contact linéaires et non linéaires. Dans ces modèles simplifiés, lorsque le modèle de contact produit des forces linéaires, il est possible de paramétrer le correcteur PID pour qu'il corrige une erreur sur la contrainte normale en une seule itération. Il n'est toutefois pas possible de résoudre analytiquement les équations obtenues lorsque le modèle de contact génère des forces de contact non linéaires, comme c'est le cas pour le modèle de Hertz-Mindlin. On ne peut donc pas trouver analytiquement les paramètres qui minimisent le nombre d'itérations requises par le correcteur PID pour corriger une erreur sur la contrainte dans le cas où les forces de contact sont non linéaires. La nouvelle méthode de contrôle proposée dans ce mémoire rencontre des diffcultés lorsque l'on prend en compte la vitesse des particules dans la force générée par le modèle de contact de Hertz-Mindlin. L'erreur de la force appliquée possède alors des dérivées de très grande amplitude, des dérivées nulles et des changements de signe de la dérivée seconde qui nuisent à la convergence de la méthode de Newton. Pour minimiser ces problèmes, nous bornons la dérivée de cette erreur et nous utilisons la méthode de la bissection pour trouver un zéro lorsque le signe de l'erreur change entre deux itérations de la méthode de Newton. Les résultats de nos simulations, lorsque comparés à l'essai de laboratoire de [1], semblent indiquer que les erreurs sur la contrainte normale ne sont pas des sources d'erreurs importantes dans nos simulations. En effet, on constate que les courbes de déformations de nos simulations sont similaires entre elles malgré les différentes contraintes normales maintenues lors des simulations, mais nos simulations ne prédisent pas le comportement des échantillons réels. Il semble probable qu'une source d'erreur plus importante ait été négligée.

Abstract

The discrete element method (DEM) is a numerical method generally used in its explicit form to simulate granular materials. This method models the position and motion of individual particles as well as their interactions when they overlap. To ensure the validity of the predictions of the DEM, it is necessary to control for the sources of errors introduced by the various algorithms used during the simulation of granular materials. This thesis attempts to reproduce a direct shear test, taken from the article [1], of a sample composed of supposed identical steel balls. In this test, a lid compresses a sample contained in a box that is sheared. The soft DEM and the Hertz-Mindlin contact model were used to numerically reproduce the laboratory test. The simulation was performed using the open-source software LIGGGHTS. The physical parameters provided by the article were used except for the density, which was multiplied by a factor of 108 to allow the use of a time step about 104 times larger, and for the gravitational acceleration of the steel balls, which was decreased by a factor of 10−8 to obtain an identical weight to the real balls. We chose a coeffcient of restitution of 0.8 for the Hertz-Mindlin model, because it was not provided by the referenced article. The objectives of the simulation were (1) to test two methods allowing to maintain a constant stress as a boundary condition and (2) to quantify the effect of normal stress errors on the strain of a sample. The first method uses a PID controller to control a lid compressing a sample. This method is commonly used in comparable simulations. However, we had difficulty to identify the suitable parameters for the PID controller and obtained a relative error of 6% on the normal constraint in the best case. The second method, which we propose, seeks a position of the lid which corresponds to a zero of the error between the desired force and the force applied by the lid. This search is done using Newton's method. This new method maintain a normal stress with a relative error of 3% without the need to be parameterized, which simplifies its use. These two methods were also tested on simplified models to studie the interaction between the cover and the sample. These models consider immobile particles and linear and nonlinear contact forces. In these simplified models, when the contact model produces linear forces, it is possible to find a configuration of the PID controller which corrects an error on the normal stress in a single iteration. However, it becomes difficult to analytically solve the equations obtained when the contact model generates nonlinear contact forces, as is the case for the Hertz-Mindlin model. Therefore, it is not possible to know which set of parameters will minimise the errors with the least number of iterations when the contact forces are non linear. The new cles. In this case, the error on the applied force has derivatives of very large amplitude, null derivatives and changes of sign of the second derivative which deteriorates the convergence of Newton's method. To minimise these problems, we bound the derivative of the error and we use the bisection method to find a zero when the sign of the error changes between two iterations of Newton's method. The results of our simulations, when compared to the laboratory test of the reproduced article, seem to indicate that the errors on the normal stress doesn't have a marked impact on the deformation of our simulated samples. Indeed, we note that the deformation curves of our simulations are similar to each other despite the different normal stresses maintained during the simulations. Meanwhile our simulations do not predict the behavior of the real samples. It seems likely that a larger error source has been overlooked. control method proposed in this thesis encounters diffculties when the force generated by the Hertz-Mindlin contact model takes into account the speed of the parti-cles. In this case, the error on the applied force has derivatives of very large amplitude, null derivatives and changes of sign of the second derivative which deteriorates the convergence of Newton's method. To minimise these problems, we bound the derivative of the error and we use the bisection method to find a zero when the sign of the error changes between two itera-tions of Newton's method. The results of our simulations, when compared to the laboratory test of the reproduced article, seem to indicate that the errors on the normal stress doesn't have a marked impact on the deformation of our simulated samples. Indeed, we note that the deformation curves of our simulations are similar to each other despite the di˙erent normal stresses maintained during the simulations. Meanwhile our simulations do not predict the behavior of the real samples. It seems likely that a larger error source has been overlooked.