Parallel Discontinuous Finite Element SN Solver in Cartesian and Hexagonal Geometries for the Boltzmann Transport Equation in DRAGONS5

Cette thèse avait comme but de départ le développement et l'implémentation d'un solveur rapide d'ordonnées discrètes, dit SN , pour les Réacteurs à Neutrons Rapides (RNRs) dans le code DRAGON5 de Polytechnique Montréal. Cela a entraîné une analyse et une étude de plusieurs aspects de l'algorithme de résolution : la discrétisation spatiale, le maillage hexagonal structuré, l'accélération synthétique et la parallélisation du calcul sur plusieurs processeurs. Chacune de ces quatre parties forme un morceau du puzzle qu'est cette recherche. Une étude précédente avait démontré que les solveurs SN étaient parmi les plus précis des méthodes déterministes pour la modélisation des RNRs. Cependant, dépendant des cas de figures, ils pouvaient aussi être 100 à 1000 fois plus lents que d'autres solveurs déterministes. Le désavantage de ces autres solveurs : ils étaient beaucoup moins précis, parfois de l'ordre de plusieurs centaines de pcm du calcul référence Monte-Carlo. Les solveurs SN utilisés étaient tous basés sur la méthode des éléments finis Discontinus de Galerkin (DG) pour la discrétisation spatiale. On s'est donc amené à questionner l'importance de cette méthode et l'avons implémenté dans DRAGON5. Une autre discrétisation, le schéma Différences Diamants (DD) d'ordre élevé, était aussi déjà implémentée dans le code. Puisqu'il n'y avait pas eu de comparaison de ces deux méthodes sur des problèmes à valeurs propres, on a creusé la question. On démontre qu'une fois les deux méthodes convergées spatialement et angulairement, les différences en termes de pcm sont négligeables. Le maillage hexagonal intervenant principalement pour les RNRs, cette fonctionnalité n'était pas présente dans DRAGON5. Une revue de la littérature a démontré plusieurs façons de traiter le problème et on a choisi un sous-maillage des hexagones en losanges. Cette méthode, élégante dans son approche, permet de retrouver des éléments orthogonaux en utilisant une transformation affine. Les interventions sur le code étaient alors stratégiques mais minimales. On a commencé à explorer l'accélération du calcul à travers l'utilisation d'une accélération synthétique. Cette méthode, bien établie, emploie en général l'équation de diffusion. On s'est attardé cependant dans cette thèse sur l'application du solveur SPn de DRAGON5, discrétisé avec les éléments finis mixtes-duaux de Raviart-Thomas (RT). On baptise cette accélération RT-SPnSA. Un travail préliminaire avait mis en place cette méthode mais elle était très instable pour les ordres spatiaux élevés et les conditions frontières de réflexion. Une nouvelle technique impose la correction du flux à travers des fractions mis à l'échelle pour les moments supérieurs. Cela permet donc de coupler l'ordre RT-0 avec n'importe quel ordre de l'équation du transport – ce qui diminue le coût.

Abstract

In this dissertation, we set out to develop and implement a fast discrete ordinate (SN ) transport solver for Fast Neutron Reactors (FNRs) in the Polytechnique Montréal DRAGON5 code. This entailed the investigation of various aspects of the resolution algorithm: the spa-tial discretisation method, structured hexagonal resolution meshes, the synthetic acceleration and the parallelisation over several processors. These arguably disjointed research areas came together to make a cohesive whole in this goal (and solver). It had been shown through a previous study that solvers based on the SN method are among the most accurate for resolving FNRs. However, depending on the test case, they were also about two to three orders of magnitude slower than solvers based on other deterministic methods (Pn and SPn) – although the latter were sometimes hundreds of pcm off from the the reference value. The SN solvers used were based on the Discontinuous Galerkin Finite Element Method (DGFEM), so for this reason, we began there. DGFEM is a spatial discretisation method that is quite popular in neutron transport theory. However, there had not been to date an eigenvalue problem comparison with the High Order Diamond Difference (HODD) method, which was already present in the code. After having implemented DGFEM using Legendre polynomials, we embarked on that. It was observed that once each method had converged angularly and spatially (for each spatial discretisation order), there was negligible differences between them. Moreover, linear DGFEM struggled more if the computational mesh was not sufficiently refined, compared to linear HODD. FNRs mostly are based on a hexagonal geometry. This meant that the solver, which had essentially been developed to work with orthogonal grids, had to be modified accordingly. There are various ways of dealing with honeycomb meshes but after a review of the available literature, a lozenge-based submeshing approach was carried out. This was elegant in its implementation as an affine transformation of lozenges can yield square elements. This implied strategic but minimal modifications to the existing code. We took the opportunity to describe the implementation in detail as we found that to be quite lacking in the literature. Subsequently, the acceleration of the code was explored through a synthetic acceleration. While the latter usually predominantly features the diffusion equation at its core, we made use of the DRAGON5 SPn solver, discretised with the mixed-dual Raviart-Thomas (RT) finite elements, to give something we dubbed RT-SPnSA. Even though a prior study set up the framework for this, the acceleration was widely unstable at higher polynomial orders in the transport equation and with reflective boundary conditions (b.c.).