Traitement de la dégénérescence en optimisation non linéaire

L'objet de cette thèse est l'etude de deux types de dégénérescence en optimisation non linéaire. Dans le chapitre 3 de la thèse, nous proposons un algorithme de points intérieurs et de région de confiance pour résoudre une reformulation élastique de la pénalisation exacte ℓ1 des problèmes mathématiques avec contraintes de complémentarité(MPCC). La nouveauté avec notre approche est qu'il n'est pas nécessaire de connaître à l'avance quelles contraintes sont de complémentarité. La force de notre approche est qu'elle traite de la même manière les problèmes dégénérés structurés que sont les MPCC et les problèmes dégénérés généraux. Notre approche adapte celle de Gould et al. (2010) aux MPCC en isolant la dégénérésence due aux contraintes de complémentarité. L'algorithme converge vers des points fortement stationnaires ou délivre le cas échéant un certificat de dégénérescence sans recourir à une condition du second ordre. Des résultats numériques préliminaires sur une collection de problèmes MPCC standard illustrent la flexibilité de l'approche. Un autre type de dégénérescence qui nous intéresse est le manque de la complémentarité stricte en optimisation non linéaire. Nous définissons au chapiter 4 une mise à jour appropriée et peu onéreuse des multiplicateurs de Lagrange associés à des contraintes faiblement actives afin de recouvrer la convergence superlinéaire des itérés pour des méthodes de points intérieurs. Enfin dans le chapitre 5, nous assemblons une collection de problèmes ayant des contraintes non strictement complémentaires. Un banc d'essais entre les solveurs de points intérieurs IPOPT2 (version en Fortran) (Wächter et Biegler, 2006), KNITRO (Waltz et Plantenga, 2006) et LOQO (Vanderbei, 2008) permet de comparer leur performance sur la collection de problèmes faiblement actifs. Notre approche de mise à jour duale est implémentée dans IPOPT2.