Optimisation riemannienne sans dérivées pour les contraintes d'égalité

Cette recherche s’intéresse à la résolution de problèmes d’optimisation sans dérivées dans lesquels interviennent des contraintes d’égalité. Elle est motivée par le constat suivant : dans la littérature, certaines méthodes traitent ces problèmes en évaluant une suite de points ne respectant pas ces contraintes, jusqu’à converger vers une solution satisfaisante à la fois du point de vue des contraintes et de celui de l’objectif. Cette approche n’est pas toujours envisageable dans le cadre de l’optimisation sans dérivées : puisque la fonction que le problème cherche à optimiser peut correspondre à une simulation informatique, il est possible qu’aucune valeur ne puisse être obtenue à moins de respecter tout ou partie des contraintes. La question qui se pose alors est la suivante : si certaines contraintes sont connues et doivent être respectées par chaque itéré, comment exploiter cette connaissance pour guider un algorithme d’optimisation sans dérivées à travers le domaine réalisable ? Une des réponses à cette question se situe dans l’étude de la géométrie de ce domaine. Un algorithme d’optimisation sans dérivées est généralement incapable de suivre un chemin tracé par un tel domaine dans ℝn : il doit pouvoir se déplacer en ligne droite dans n’importe quelle direction de l’espace et obtenir l’information qui lui permet d’inférer la prochaine direction à explorer. Une solution à ce problème peut être apportée dans le cas où le domaine est suffisamment régulier pour admettre une linéarisation locale en chacun de ses points. Un tel ensemble est appelé une sous-variété riemannienne de ℝn. Cependant, exécuter un algorithme sur une linéarisation locale ne fournit pas des points satisfaisant exactement les contraintes d’égalité. Pour pallier ce problème, nous utilisons la notion de rétraction issue de l’optimisation riemannienne. Ce mémoire s’intéresse donc au cas où l’ensemble Ω= réalisable pour les contraintes d’égalité d’un problème constitue une sous-variété riemannienne de ℝn, et traduit cette condition directement sur les contraintes concernées. Il propose une méthode nommée rDFO (pour Riemannian Derivative-Free Optimization), capable d’exécuter un solveur sans dérivées sur les espaces dits tangents à Ω=, tout en conservant un contrôle sur l’exactitude avec laquelle sa linéarisation le décrit. Dans le cas où le solveur en question est l’algorithme Mads (Mesh Adaptive Direct Search), nous montrons que certaines conditions nécessaires d’optimalité sont obtenues lorsque cette méthode converge. Enfin, des expériences numériques sont menées, afin d’évaluer les capacités de la méthode sur diverses familles de problèmes.