Conception d'un algorithme variationnel pour l'ajustement d'un modèle hiérarchique bayésien de valeurs extrêmes pour les précipitations

L’élévation de température au Québec menace d’impacter la fréquence et l’intensité des précipitations extrêmes, augmentant les risques de catastrophes climatiques telles que les inondations, érosions de sols et débordements d’égouts. Afin d’orienter la stratégie d’adaptation des organisations face à ces nouvelles dynamiques de précipitations, il est primordial de les quantifier. Les modèles statistiques, permettant d’inférer leur distribution à partir de données observées et de simulations climatiques, sont les outils les plus adaptés pour caractériser ces phénomènes aléatoires. En particulier, un modèle hiérarchique bayésien conçu spécifiquement pour les précipitations extrêmes capture fidèlement la structure de leur comportement. L’ajustement de ce modèle aux données extrêmes consiste à trouver la distribution conditionnelle de ses paramètres sachant les données observées, appelée distribution a posteriori. Celle-ci n’étant pas connu analytiquement, elle est estimée via un algorithme de type Monte Carlo par Chaîne de Markov (MCMC). Bien que satisfaisant, les algorithmes MCMC peuvent être coûteux en temps et en mémoire et nécessitent des réglages fastidieux pour fonctionner. Les méthodes variationnelles constituent une alternative prometteuse aux MCMC. L’objectif est de trouver, au sein d’une famille de lois paramétriques simples, une approximation de la loi a posteriori en minimisant un coût, nommé divergence de Kullback-Leibler. La famille de lois reposant sur l’hypothèse de champ moyen est usuellement utilisée. Sous cette hypothèse, on peut accéder à l’expression de la loi marginale a posteriori optimale d’un paramètre donné vis-à-vis du problème d’optimisation (loi q∗), tous les autres paramètres étant fixés. De ce résultat découle l’algorithme Coordinate Ascent for Variational Inference (CAVI) dans lequel les lois q∗ sont mises à jour à tour de rôle. Or, celui-ci n’est pas applicable tel quel au modèle de précipitations extrêmes car les lois q∗ qu’il fait apparaître ne peuvent pas être simplement normalisées. Dans ce mémoire, l’approximation dite quadratique est utilisée pour approcher les lois q∗ indéterminées de la procédure CAVI par des lois normales. Cette approximation est très précise pour estimer les lois marginales des paramètres de localisation et d’échelle de la loi des valeurs extrêmes généralisée. La combinaison de ces procédés résulte en un algorithme variationnel rapide, donnant accès à des lois marginales a posteriori explicites et dont la convergence est facilement vérifiable.

Abstract

Rising temperatures in Quebec threaten to impact the frequency and intensity of extreme precipitation events, increasing the risk of climate-related disasters such as flooding, soil erosion and sewer overflows. To guide organizations’ adaptation strategies in the face of these new precipitation dynamics, it is essential to quantify them. Statistical models, which can infer their distribution from observed data and climate simulations, are the most suitable tools for characterizing these random phenomena. In particular, a Bayesian hierarchical model designed specifically for extreme precipitation events faithfully captures the structure of their behavior. Fitting this model to extreme data involves finding the conditional distribution of its parameters given the observed data, known as the posterior distribution. As this is not known analytically, it is estimated using a Markov Chain Monte Carlo (MCMC) algorithm. Although satisfactory, MCMC algorithms can be costly in terms of time and memory, and require tedious tuning to operate. Variational methods are a promising alternative to MCMC. The aim is to find, within a family of simple parametric laws, an approximation to the posterior law by minimizing a cost, called the Kullback-Leibler divergence. The family of laws based on the mean-field hypothesis is usually used. Under this assumption, we can access the expression of the optimal posterior marginal distribution of a given parameter with respect to the optimization problem (q∗ distribution), with all other parameters fixed. From this result derives the Coordinate Ascent for Variational Inference (CAVI) algorithm, in which the q∗ laws are updated in turn. However, this algorithm cannot be applied as it stands to the extreme precipitation model, as the q∗ laws it generates cannot simply be normalized. In this thesis, the so-called quadratic approximation is used to approximate the indeterminate q∗ laws of the CAVI procedure by normal laws. This approximation is highly accurate for estimating the marginal laws of the location and scale parameters of the generalized extreme value distribution. The combination of these procedures results in a fast variational algorithm, giving access to explicit posterior marginal laws whose convergence is easily verifiable.