The Finite Element Neural Network Method: Solving Petrov-Galerkin Finite Element Formulation with Neural Networks Leveraging Non-Vanishing Test Functions

Le développement des réseaux de neurones artificiels (RNA) a significativement progressé lors des deux dernières décennies, devenant la méthode prédominante pour améliorer et dévelop-per des applications dans différents domaines, notamment la finance, les soins de santé, le traitement d’images et le traitement du langage naturel (TLN). En raison de leur succès, les RNA ont perçu une attention grandissante de la communauté informatique scientifique, où ils sont utilisés pour approximer la solution d’équations différentielles partielles (EDP). Cepen-dant, les RNA purement pilotés par les données manquent de connaissance des lois physiques et échouent dans les régimes aux petites données. De leur côté, les méthodes numériques clas-siques, telles que la méthode des éléments finis (MEF), reposent sur de solides fondements théoriques qui en font la norme en matière de précision et de fiabilité, étayée par des décen-nies d’amélioration et d’optimisation. Néanmoins, elles sont confrontées à de multiples défis lorsqu’elles sont appliquées à des problèmes mal posés, de la non-linéarité et des mises à jour de systèmes en temps réel. Dans ce projet, nous abordons les limites des deux méthodes en les fusionnant en la méthode des éléments finis à réseaux de neurones (FENNM), en utilisant des opérations de convolution pour résoudre des problèmes directs et inverses. L’approche résultante exploite les avantages de la théorie établie des éléments finis, en tirant parti de la flexibilité et des capacités des réseaux de neurones (RN) en tant qu’approximateurs de la fonction d’essai. Nous établissons d’abord la formulation FENNM analogue à la MEF pour les domaines uni-dimensionnels. Ensuite, nous explicitons les composantes de la fonction de perte des résidus et la construction des filtres de convolution, en caractérisant la relation entre les opérateurs différentiels, les fonctions test et la règle de quadrature de Gauss. En appliquant le raffine-ment hp, nous mettons en évidence que FENNM devient indépendant du maillage et son application à différentes études de cas numériques confirme sa robustesse. De plus, nous dé-montrons qu’en utilisant la forme ultra-faible de l’EDP, FENNM élimine la compétition entre les termes de perte en imposant toutes les conditions limites dans une seule fonction de perte, et nous montrons que nous pouvons exploiter les propriétés des RN pour résoudre la formu-lation MEF en temps. Enfin, nous illustrons que, similairement aux méthodes numériques classiques, nous pouvons utiliser les résidus de la forme forte de l’EDP comme indicateur pour guider FENNM avec le raffinement local de la grille. Après la formulation initiale, nous étendons l’approche FENNM à des domaines bidimen-sionnels, où la seconde dimension peut être l’espace, le temps ou un paramètre, en tirant parti de la flexibilité des RN en tant qu’approximateurs de fonctions. Ensuite, nous illus-trons la robustesse de la méthode sur plusieurs études de cas, y compris des solutions avec des discontinuités nettes, des problèmes vectoriels, des solutions directes et inverses pour des problèmes de transfert de chaleur radiatif avec des charges externes, ou comportant des géométries complexes. Enfin, nous démontrons la constance du comportement de FENNM par rapport au résidu de forme forte des EDP, ce qui permet de l’utiliser comme estimateur d’erreur pour piloter le raffinement local de la grille et améliorer la précision de la prédiction de FENNM.