Design of a Physics-Informed Neural Network to Approximate Solutions of the Navier-Stokes Equations

ABSTRACT This dissertation introduces advancements in the application of Deep Learning (DL) tech-niques, particularly through Physics-Informed Neural Networks (PINN), to approximate so-lutions to the Navier-Stokes equations, which are of high importance for the study of fluid dynamics. By leveraging the principles of machine learning, combined with physical laws, this research addresses the shortcomings posed by traditional numerical methods for mod-eling complex fluid dynamics problems. The core innovation of this work lies in the de-velopment and implementation of enhanced PINN-based techniques that integrate domain decomposition, advanced network architectures including transformer networks, time march-ing combined with generative modeling, and novel trainable activation mechanisms. This approach not only gives accurate approximations to Partial Differential Equations (PDEs), but also enhances the capability of PINN models to handle high-dimensional, nonlinear, and turbulent flows typically encountered in fluid dynamics, governed by the Navier-Stokes equa-tions. The thesis is structured around three articles, each contributing to the overall theme of enhancing PINNs for fluid dynamics:

Résumé

Cette thèse introduit des avancées dans l’application de l’apprentissage profond (Deep Learn-ing, DL), notamment à travers les réseaux de neurones informés par la physique (Physics-Informed Neural Networks, PINN), pour approcher les solutions des équations de Navier-Stokes, qui sont cruciales dans l’étude de la dynamique des fluides. En exploitant les principes de l’apprentissage machine combinés aux lois physiques, cette recherche aborde les défis posés par les méthodes numériques traditionnelles pour approximer les solutions aux problèmes complexes de dynamique des fluides. L’innovation principale de ce travail réside dans le développement et la mise en œuvre de techniques basées sur les PINN améliorées qui in-tègrent la décomposition de domaine, des architectures de réseaux avancées incluant des réseaux transformateurs, une planification temporelle combinée à un modélisation généra-tive, et de nouveaux mécanismes d’activation au sein du modèle PINN. Cette approche ne se contente pas d’approximer précisément les solutions aux équations aux dérivées partielles (EDP) dans un cadre complet, mais améliore également la capacité des modèles PINN à gérer des flux à haute dimension, chaotiques et turbulents, typiquement rencontrés en dynamique des fluides, régis par les équations de Navier-Stokes. La dissertation est structurée autour de trois articles clés, chacun contribuant au thème général de l’amélioration des PINN pour la dynamique des fluides: