Bilevel models for demand response in smart grids

La thèse porte sur les modèles d'optimisation mathématique biniveau et leurs applications à la réponse de la demande dans les réseaux électriques. L'augmentation de la production d'énergie renouvelable et l'apparition de nouveaux acteurs ont complexité les opérations et décisions dans les réseaux électriques. La nature aléatoire et distribuée de la génération solaire et éolienne entraîne un besoin d'ajustement de la production conventionnelle à la demande nette, correspondant à la demande après prise en compte de la production renouvelable. La réponse de la demande est une des solutions utilisées pour faire face à ces nouveaux besoins des réseaux électriques. Au lieu d'étudier l'adaptation de la production à la charge, son principe est d'exploiter la �exibilité d'une partie de la consommation, ajustant ainsi la courbe de demande au cours du temps. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un système de réponse de la demande par prix dynamique, TLOU. Dans ce système, un usager réserve une capacité pour une période donnée, et paie un prix dépendant du dépassement de sa capacité par la consommation sur la période donnée. Nous étudions les propriétés de ce système de tari�cation, en particulier du point de vue du fournisseur déterminant les paramètres de prix. L'interaction entre le fournisseur et les usagers est modélisée comme un jeu de Stackelberg ou meneur-suiveur qui est résolu par une approche d'optimisation mathématique biniveau. Les problèmes d'optimisation biniveau sont caractérisés par un problème d'optimisation imbriqué dans les contraintes d'un autre problème d'optimisation. Leurs champs d'applications incluent les problèmes de conception en ingénierie, les modèles économiques, les réseaux électriques ou encore la sûreté des systèmes. Dans la deuxième partie de la thèse, une formulation du problème biniveau est proposée dans laquelle le deuxième niveau n'est plus nécessairement résolu exactement, mais peut dévier de son optimum d'une quantité limitée. Nous développons une formulation biniveau robuste à la quasi-optimalité (NORBiP) dans laquelle le premier niveau s'assure de trouver une solution dont la faisabilité est garantie pour l'ensemble des solutions quasi optimales du deuxième niveau. Ce modèle introduit une notion de robustesse spéci�que à l'optimisation multiniveau. Une reformulation à un seul niveau est développée dans le cas où le deuxième niveau est un problème d'optimisation convexe, basée sur la dualisation des contraintes de robustesse. Dans le cas où le deuxième niveau est un problème linéaire, une formulation étendue linéarisée est proposée. Bien que cette formulation robuste soit plus di�cile à résoudre que le problème biniveau classique, nous établissons des résultats sur sa complexité, démontrant que le problème robuste à la quasi-optimalité appartient à la même classe de complexité que le problème optimiste équivalent sous certaines hypothèses. En�n, des algorithmes exacts et heuristiques sont proposés pour accélérer la résolution de problèmes biniveaux robustes à la quasi-optimalité dans le cas linéaire.

Abstract

This thesis investigates mathematical optimization models with a bilevel structure and their application to price-based Demand Response in smart grids. The increasing penetration of renewable power generation has put power systems under higher tension. The stochastic and distributed nature of wind and solar generation increases the need for adjustment of the conventional production to the net demand, which corresponds to the demand minus the renewable generation. Demand Response as a means to this adjustment of demand and supply is receiving growing attention. Instead of achieving the adjustment thanks to generation units, it consists in leveraging the �exibility of a part of the demand, thus changing the aggregated demand curve in time. The �rst part of this thesis focuses on a Time-and-Level-of-Use Demand Response system based on a price of energy that depends on the time of consumption, but also on a capacity that is self-determined by each user of the program. This capacity is booked by the user for a speci�c time frame, and determines a limit for energy consumption. Several key properties of the pricing system are studied, focusing on the perspective of the supplier setting the pricing components. The supplier anticipates the decision of the customers to the prices they set, the sequential decision created by this situation is modelled as a Stackelberg or Leader-Follower game formulated as a bilevel optimization problem. Bilevel optimization problems embed the optimality condition of other optimization problems in their constraints. Their range of applications includes optimization for engineering, economics, power systems, or security games. The inherent computational di�culty of bilevel problems has motivated the development of customized algorithms for their resolution. In the second part of the contributions, a variant of the bilevel optimization problem is developed, where the upper level protects its feasibility against deviations of the lower-level solution from optimality. More speci�cally, this near-optimal robust model maintains the upper-level feasibility for any lower-level solution that is feasible and almost optimal for the lower-level. This model introduces a robustness notion that is speci�c to multilevel optimization. We derive a single-level closed-form reformulation when the lower level is a convex optimization problem and an extended formulation when it is linear. The near-optimal robust bilevel problem is a generalization of the optimistic bilevel problem and is in general harder to solve. Nonetheless, we obtain complexity results for the near-optimal robust bilevel problem, showing it belongs to the same complexity class as the optimistic problem under mild assumptions. Finally, we design exact and heuristic solution methods that signi�cantly improve the solution time of the extended formulation.