Modélisation numérique d'écoulements turbulents à l'aide de décompositions matricielles

Les modèles de viscosité turbulente basés sur le tenseur de gradient de vitesse sont nombreux. Ils sont difficiles à sélectionner pour une application particulière, ils peuvent introduire des calculs qui sont numériquement instables et ils mesurent des fluctuations du champ de vitesse qui sont restreints au voisinage du point où ils sont évalués. L’objectif de cette thèse est de produire un modèle de viscosité turbulente qui est basé sur les décompositions matricielles. On explore la décomposition en valeurs singulières (SVD) et la factorisation matricielle non négative (NMF) à l’aide de quelques exemples simples et les données d’un jet turbulent. Ces deux décompositions matricielles arrivent à identifier les fluctuations du champ de vitesse. La SVD permet de le faire de manière optimale au sens des moindres carrés, ce qui permet d’obtenir une estimation précise de l’énergie représentée par l’approximation des fluctuations du champ de vitesse qui est utilisée. La NMF permet d’isoler des caractéristiques qui ont un sens physique, mais on doit définir ce sens afin de pouvoir l’exploiter. Plus de travail est donc requis pour rendre la NMF utile dans ce contexte, d’autant plus qu’elle ne partage pas les propriétés recherchées, que l’on retrouve avec la SVD (existence, unicité, optimalité, orthogonalité). Néanmoins, la NMF semble être une bonne candidate pour de futurs travaux. On choisit donc de poursuivre l’étude à l’aide de la SVD. On réussit à développer deux relations importantes qui peuvent servir à indiquer le niveau de turbulence présent dans l’écoulement. Pour y arriver, on utilise la variation de l’énergie des fluctuations du champ de vitesse à travers toutes les échelles présentes dans les données de l’écoulement. La première relation est l’évolution des valeurs singulières lors des mises à jour de la SVD pendant l’évolution en temps de l’écoulement. Ceci nous donne accès à une séquence d’ensembles de valeurs singulières et nous permet d’observer le transfert de l’énergie à travers les fluctuations du champ de vitesse à toutes les échelles présentes dans les données de l’écoulement. La seconde relation permet d’estimer la dérivée des valeurs singulières de chaque SVD au moment où elles sont calculées. Cette estimation permet de prédire la fluctuation de l’énergie des fluctuations du champ de vitesse qui sont exprimées par la SVD à cet instant. On constate que ces deux relations semblent un peu en accord avec les plus grandes échelles de l’écoulement, mais elles ne sont pas cohérentes pour toutes les échelles des fluctuations, en particulier pour les petites échelles. On explique cette anomalie par la nature des quantités exprimées par chaque relation. La variation des valeurs singulières, lors de la mise à jour de la SVD, ne peut pas être interprétée comme étant la variation de l’énergie d’une fluctuation précise du champ de vitesse puisque l’expression de cette fluctuation change lors de la mise à jour de la SVD. Néanmoins, cette interprétation reste approximativement correcte pour les plus grandes échelles et peut être utilisée pour estimer l’énergie qui transite des grandes échelles vers les petites échelles de l’écoulement. L’estimation de la dérivée des valeurs singulières prédit l’énergie des fluctuations exprimées par la SVD à cet instant comme si elles conservaient leur forme, comme c’est approximativement le cas pour les plus grandes échelles sur les courtes périodes de temps considérées. On termine la thèse en calculant une viscosité turbulente à l’aide d’une approximation des fluctuations turbulentes du champ de vitesse. Un algorithme est donné pour montrer comment ce modèle peut être mis en oeuvre. Une série de paramètres initiaux est proposée.

Abstract

The subgrid scale models used with LES, that are based on the velocity gradient tensor, are large in number, difficult to chose properly for a given application, can introduce dynamical procedures that are numerically unstable and can only measure velocity fluctuations in a small neighborhood of a given point. The goal of this study is to create a subgrid scale model that is based on matrix factorization techniques. The SVD and the NMF are studied with the help of simple examples and data sets of a turbulent jet. These two matrix factorizations are capable of identifying velocity field fluctuations. The SVD can optimally achieve this the sens of least squares, that allows for an accurate estimate of the energy content of the approximated velocity field fluctuations. The NMF makes it possible to express data characteristics in a meaningful manner, but the meaning must be defined first. More work needs to be done to use the NMF in a meaningful way and it does not share the well behaved properties of the SVD (existence, unicity, optimality, orthogonality). Nevertheless, the NMF is a good candidate for future work. We therefore continue our study based on the SVD exclusively. We are able to obtain two important estimates of the evolution of turbulence by measuring energy variations of velocity field fluctuations across all the scales contained in the flow data. The first estimate involves the variation of the singular values at each update of the SVD, during the time dependent flow. This generates a sequence of sets of singular values that expresses the energy transfer across all scales of the velocity field data of the flow. The second estimate involves the derivative of the singular values at a given time for each set of singular values. This estimate allows for the prediction of the variation of the energy content of each velocity field fluctuations as they are expressed by the SVD if they were to remain in their form at that given time. These two estimates kind of agree with each other at best, when the largest scales completely disagree with the smallest scales of the flow. We can explain this disagreement by looking at the nature of each estimate. The variation of the singular values at each SVD update cannot be seen as the variation on the energy content of each flow scale as they are expressed by the SVD, since its update modifies the expression of the flow scales. However, this interpretation is somewhat good for the largest scales of the flow, and can be used to estimate the energy transfer from the large scales to the small scales. The singular value derivative estimate can be used to predict the energy content variation for the velocity fluctuations as they are expressed by the SVD at that moment, on short time intervals, as it is observed for the largest scales of the flow. We conclude the thesis by calculating a subgrid scale model using the turbulent fluctuations approximation we developed. An algorithm is proposed to show how this subgrid scale model can be implemented, and a series of initial parameters is proposed to help with this task.