Application de l'optimisation conique au problème d'écoulement de puissance optimal

Le problème d'écoulement de puissance optimal consiste à déterminer, sur les bases des consommations et productions prévues, un plan de fonctionnement d'un réseau électrique qui optimise un certain objectif tout en respectant les contraintes physiques et sécuritaires. Sa formulation classique est un problème d'optimisation non convexe et très difficile à résoudre. Récemment, quelques relaxations convexes telles que la relaxation semidéfinie, la relaxation conique du second-ordre, la relaxation quadratique convexe, ont montré un intérêt significatif dans la communauté scientifique. La relaxation semidéfinie est plus forte que la plupart d'entre elles et il existe des applications numériques où elle est exacte. Toutefois, sa résolution s'avère trop coûteuse comparativement à celle de la relaxation conique du second ordre pour un réseau de grande taille. Dans ce travail, nous proposons une nouvelle relaxation conique qui s'avère être un bon compromis entre la relaxation semidéfinie et la relaxation conique du second ordre pour des réseaux de grande taille en termes de gap d'optimalité et de temps de résolution. En effet, des résultats numériques sur des réseaux comportant jusqu'à 6515 noeuds montrent que la nouvelle relaxation est plus forte que la relaxation conique du second ordre et que sa résolution est beaucoup moins coûteuse que celle de la relaxation semidéfinie. Ensuite, nous considérons le problème de répartition optimale de puissance réactive. Ce problème est en fait un problème d'écoulement de puissance optimal où les composants qui permettent de contrôler le flux de puissance réactive dans le réseau, tels que les condensateurs shunts, les transformateurs, sont pris en compte. Le problème de répartition optimale de puissance réactive est un problème mixte en nombres entiers, donc plus complexe que le problème classique. Pour le résoudre, nous utilisons la technique de l'arrondi combinée à une relaxation conique. Cette approche appliquée à des réseaux avec jusqu'à 3375 noeuds donne des meilleurs résultats que si l'on avait considéré une simple relaxation continue du problème, qui est non convexe. En effet, les solutions optimales obtenues sont quasi globales. En pratique, le problème d'écoulement de puissance optimal est un problème multi-période à cause, notamment, de la variation horaire de la consommation. D'autre part, le temps de résolution et la qualité de la solution représentent un besoin clé pour des algorithmes du problème d'écoulement de puissance optimal. En réalité, ce dernier est résolu toutes les 5-10 minutes afin de répondre aux besoins horaires des consommateurs. Dans la dernière partie de ce travail, nous montrons que la relaxation développée dans la première partie peut être exacte. Par la suite, nous l'extrapolons au problème multi-période et les résultats numériques sur des réseaux ayant jusqu'à 500 noeuds montrent que la relaxation multi-période est prometteuse pour des applications réelles.

Abstract

The classical alternating current optimal power flow (ACOPF) problem is highly nonconvex and generally hard to solve. Convex relaxations, in particular semidefinite, second-order cone, convex quadratic, and linear relaxations, have recently attracted significant interest. The semidefinite relaxation is the strongest among them and is exact for many cases. However, the computational efficiency for solving large-scale semidefinite optimization is lower than for second-order cone optimization. In this work, we first propose a conic relaxation obtained by combining semidefinite optimization with the reformulation-linearization technique, commonly known as RLT. The proposed relaxation, called tight-and-cheap relaxation (TCR), is stronger than the second-order cone relaxation and nearly as tight as the standard semidefinite relaxation. Computational experiments using standard test cases with up to 6515 buses show that the time to solve the new conic relaxation is up to one order of magnitude lower than for the chordal relaxation, a semidefinite relaxation technique that exploits the sparsity of power networks. In the second part of this work, we consider the optimal reactive power dispatch (ORPD) problem, which is anACOPF problem where discrete control devices for regulating the reactive power, such as shunt elements and tap changers, are considered. The ORPD problem is modelled as a mixed-integer nonlinear optimization problem and its complexity is increased compared to the ACOPF problem. We show that a round-off technique applied with a tight conic relaxation of the ORPD problem leads to near-global optimal solutions with very small guaranteed optimality gaps, unlike with the nonconvex continuous relaxation. We report computational results on selected MATPOWER test cases with up to 3375 buses. Many power system applications that require solving an OPF problem are multi-period because of several reasons such as the evolution of market prices or the behavior of the demand. On the oher hand, computational speed and global optimality are a key need for pratical OPF algorithms. In fact, in real-time applications, an OPF problem is run every few minutes to meet the daily requirements optimally in every hour. In the last part of this work, we show that TCR can be exact and can provide a global optimal solution for the ACOPF problem, theoretically and numerically. Thereafter, we propose a multi-period TCR for the multi-period ACOPF problem and computational experiments using MATPOWER test cases with up to 500 buses show that this new relaxation is promising for real-life applications.