A goal-oriented finite element method and its extension to pgd reduced-order modeling

Nous proposons une méthode éléments finis formulée pour des quantités d'intérêt. L'objectif est d'accroître la précision des solutions numériques pour ces quantités, choisies par l'utilisateur, sans pour autant perdre en précision globale. Les approches traditionnelles visant à contrôler l'erreur en quantité d'intérêt utilisent habituellement la solution d'un problème adjoint pour: (i) estimer l'erreur en quantité d'intérêt; et (ii) savoir comment adapter la discrétisation afin d'obtenir un espace éléments finis capable de mieux représenter les quantités d'intérêt de la solution. Ces approches s'inscrivent donc dans un procédé itératif de prédictions-corrections. Nous proposons d'utiliser cette même solution adjointe conjointement avec un probleme primal modifié, tel que sa solution soit ajustée à une valeur plus précise de la quantité d'intérêt. Ainsi, nous résolvons dans un espace qui est déjà adapté à la quantité d'intérêt. L'originalité de la présente approche consiste à utiliser la solution du problème adjoint non pas en tant que substitut de la solution exacte/référence pour l'estimation d'erreur et l'adaptation, mais en extrayant de celle-ci des valeurs des quantités d'intérêt extrêmement précises. Ces valeurs sont ensuite utilisées dans une minimisation sous contrainte de l'énergie (problème primal contraint) afin d'obtenir une solution plus précise en quantité d'intérêt. Ensuite, nous étendons cette approche en quantité d'intérêt à un contexte de réduction de modèles en utilisant la PGD. Ces méthodes reposent généralement sur des représentations spectrales, et sont de plus en plus utilisées pour simuler des problèmes en haute dimension. En ne considérant que les principaux modes propres de la solution, ces méthodes déjouent la malédiction de la dimensionnalité et rendent possibles des simulations auparavant inenvisageables.

Abstract

We present a finite element formulation of boundary-value problems that aims at constructing approximations specifically tailored for the estimation of quantities of interest of the solution, hence the name goal-oriented finite element method. The main idea is to formulate the problem as a constrained minimization problem that includes refined information in the goal functionals, so that the resulting model is capable of delivering enhanced predictions of the quantities of interest. This paradigm constitutes a departure from classical goal-oriented approaches in which one computes first the finite element solution and subsequently adapts the mesh via a greedy approach, by controlling error estimates measured in terms of quantities of interest using a posteriori dual-based error estimates. The formulation is then extended to the so-called Proper Generalized Decomposition method, an instance of model order reduction methods, with the aim of constructing reduced-order models tailored for the approximation of quantities of interest. Model order reduction methods aim at circumventing the curse of dimensionality arising from the high number of parameters of a given problem, by uncovering and/or exploiting lower dimensional structures present in the model or in the solution. Numerical examples are disseminated throughout the dissertation. They appear at the end of each of the three main chapters and Chapter 5 consists of an application example, namely a parametrized electrostatic cracked composite material.