Analyse des méthodes par éléments finis et méthodes sans maillage pour la déformation de corps mous en simulation chirurgicale

Ce projet de recherche s'intéresse au problème de la simulation chirurgicale qui constitue un des grands défis du domaine de l'animation en temps réel de corps virtuellement déformables. Le processus de simulation doit représenter le comportement d'un organe déformable qui réagit aux manipulations de l'utilisateur et de son outil haptique, et ce en temps réel. La modélisation repose sur la résolution d'un système d'équations aux dérivées partielles complexe pour lequel la méthode des éléments finis est généralement favorisée. Cependant, cette méthode nécessite une discrétisation du modèle déformable en une suite d'éléments géométriques connectés entre eux, un processus fastidieux et mal adapté pour des simulations qui nécessitent des découpes ou autres manipulations entrainant un changement de la topologie initiale de l'objet simulé. Ce travail cherche à confirmer l'hypothèse que des méthodes de discrétisation basées sur des particules, et donc sans maillage d'éléments, sont suffisamment rapides, précises et stables pour pallier le problème de l'approche traditionnelle des éléments finis. Pour y arriver, deux méthodes de discrétisation sans maillage sont construites. Les deux utilisent une formulation faible des équations d'équilibre de la théorie de l'élasticité linéaire en mécanique des milieux continus. Le premier modèle, la méthode basée sur les points (MBP), utilise une approximation du déplacement d'une particule basée sur un voisinage compact bâti autour de celle-ci à l'aide d'une fonction noyau. Pour intégrer l'équation d'équilibre sur le domaine non déformé, le modèle utilise le volume d'une particule décrit comme le rapport entre sa masse et la densité de son voisinage. Deux fonctions d'approximation du déplacement sont formulées : la fonction de forme “Smooth Particle Hydrodynamics” (SPH) et la fonction de forme “Moving least square” (MLS). Le deuxième modèle est basé sur la méthode Meshless Total Lagrangian Dymamics (MTLED) qui utilise également une approximation du déplacement d'une particule basée sur un voisinage compact, mais cette fois en utilisant un maillage d'éléments pour l'intégration de l'équation d'équilibre sur le domaine non déformé. Un algorithme intégrant ces deux modèles est proposé. Pour valider l'approche sans maillage, un modèle de référence basé sur la méthode des éléments finis avec des éléments tétraédriques et hexaédriques linéaires est décrit et également implémenté. La performance des méthodes sans maillage et de la méthode des éléments finis est finalement comparée. La comparaison est effectuée sur différents scénarios d'étirement et de fléchissement. Une analyse de la résolution statique du système d'équilibre et de la matrice de rigidité est également abordée. Les techniques d'intégration dans le temps et de gestion des forces de contact sont aussi testées. Les résultats obtenus amènent à l'invalidation de l'hypothèse de départ. Pour arriver à atteindre du temps réel, seules les méthodes d'intégration explicites dans le temps peuvent être utilisées sur des objets de taille considérable, c'est-à-dire comportant quelques milliers de particules. D'ailleurs, même avec une méthode d'intégration explicite dans le temps, un nombre très restreint de voisins est nécessaire, entrainant ainsi une mauvaise propagation des forces. De plus, si le nombre de particules du volume est diminué en augmentant la taille du voisinage pour ainsi accélérer le temps de calcul, la faible consistance des fonctions d'approximation apporte de graves conséquences sur la précision et la stabilité de l'animation. Pour ces raisons, l'utilisation des deux approches sans maillage étudiées lors d'une modélisation complète du comportement d'un organe dans une simulation en temps réel n'apporte aucun gain par rapport à la méthode des éléments finis.

Abstract

Virtual reality applications and computer simulations are currently undergoing exponential growth. This project focus on the field of surgery simulation which relies on computer animations concepts and complex physical models in order to realistically animate the behaviour of deformable soft tissues and organs under the manipulations of a haptic device driven by the user. The modelization involves a system of partial differential equations for which the finite element methods (FEM) are well adapted and have been used over the past three decades. Yet, those methods rely on a huge discretization process that breaks the simulated object into a group of geometrical elements connected together within a topology. Avoiding the discretization process would result in a major breakthrough for real time surgical simulation. This research suggests that particle-based discretization methods, also referred to as meshless methods, currently used in other simulation applications are adequately fast, precise and stable to meet the surgery simulation constraints. To sustain this hypothesis, the study and implementation of two meshless discretization models built around the weak form of elasticity equilibrium of the theory of continuum mechanics are performed. The first model, the point-based animation method (MBP), uses an approximation function of a displacement based on a compact neighborhood of particles built from a kernel function. To integrate the weak form of the equilibrium equations formulated within a lagrangian description, the model uses the volume of a particle as the ratio between its mass and the density of its neighborhood. Two approximation functions of the displacement are studied: the Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) and the Moving Least Squares (MLS). The second meshless model is based on the Meshless Total Lagrangian Explicit Dynamics (MTLED) method and also uses an MLS approximation function, but takes advantage of a background integration grid to integrate the weak form of the equilibrium equations. To validate the meshless approaches, the implementation of a reference solution based on a finite element method using linear tetrahedral and hexahedral elements is carried out. The finite element and the two meshless models are tested on different stretching and bending behaviours. An analysis of the static case of equilibrium system and thereby the stiffness matrix is performed. Likewise, time integration schemes and contact penalty forces are tested. The results of the trials invalidate the research's hypothesis. In real time simulations, only the explicit time integration scheme was able to produce fast enough results on simulations involving large objects, that is, with more than a few thousands particles. Those particles were restrained to a low number of neighbours, causing a weak propagation of forces through the objects. Furthermore, because of the low consistency order of the approximations, decreasing the number of particles by extending the neighborhood in order to reduce computation delays will result in severe instabilities inducing in most cases the end of the simulation process. For these reasons, the conclusion is that the two particle based methods presented in this research bring no valuable gains over the finite elements method in the field of real-time simulation of soft tissues deformation required by surgical simulators.