Une étude de cas de vérification pour un code à source ouvert de simulation numérique

Ces dernières décennies, les calculs numériques en mécanique des fluides, à l'aide d'outils de calcul tels que OpenFOAMr, se sont considérablement développés, grâce aux ressources informatiques qui sont de plus en plus puissantes et qui permettent ainsi la résolution numérique des équations aux dérivées partielles avec une grande précision. Cependant, malgré les grands progrès, il reste un défi majeur : la simulation des problèmes réels complexes. Pour la plupart de ces problèmes, il n'existe pas de solution analytique et la validation et la vérification des résultats deviennent une tâche difficile, mais nécessaire. OpenFOAMr est un outil de simulation principalement orienté sur la résolution numérique des équations de la mécanique des fluides. Distribué sous licence à source ouverte GNU/GPL, OpenFOAMr est largement utilisé dans les milieux universitaires et dans l'industrie. Bien que ce logiciel est composé d'un grand nombre de bibliothèques qui prennent en charge les différentes phases de la simulation numérique, peu d'études de vérification peuvent être trouvées aujourd'hui. Une étude de vérification en profondeur de ses librairies principales est justifiable. D'autant plus qu'on a observé une perte de convergence lors des simulations numériques de solutions analytiques des équations de Navier-Stokes sur des maillages non orthogonaux. Cette thèse est composée principalement de deux contributions qui concernent une méthode de vérification des opérateurs de convection-diffusion de l'outil informatique OpenFOAM. Une première contribution est le développement de la méthode de vérification elle-même, qui a permis d'identifier la source de perte de convergence sur des maillages non orthogonaux. À cette fin, une méthode qui tient compte de la complexité du solveur (c.-à-d., la complexité des schémas), des conditions aux limites, ainsi que de la qualité du maillage est établie dans une première étape. La principale contribution de cette première partie est la détection de la source d'une perte de convergence due au traitement de la non-orthogonalité pour des conditions aux limites de type Dirichlet et de type Neumann. Autres résultats dans cette première phase sont : la vérification du bon fonctionnement des algorithmes à l'intérieur du domaine et sur des maillages orthogonaux, la confirmation de l'ordre théorique de convergence des conditions aux limites périodiques sur des maillages orthogonaux et non orthogonaux, ainsi que la vérification du bon fonctionnement des algorithmes concernant les critères de qualité du maillage, la non-uniformité et l'asymétrie (skewness en anglais). Pour étudier l'erreur, la méthode des solutions manufacturées a été appliquée pour obtenir des solutions analytiques de l'équation de Poisson. Les normes d'erreurs moyenne et maximale ont été utilisées pour calculer le taux de convergence. La seconde contribution est constituée de différentes façons afin de corriger le problème de perte de convergence. Nous avons aussi appliqué le processus de vérification aux schémas corrigés. Dans cette deuxième partie, on montre mathématiquement la nécessité d'introduire une correction aux faces à la frontière. À l'aide de l'analyse d'erreur de troncature pour les conditions de type Dirichlet ou Neumann, nous avons montré la nécessité d'implémenter un traitement non orthogonal pour les deux types de conditions aux limites. Par la suite, différentes méthodes pour obtenir des conditions aux frontières de deuxième ordre ont été implémentées. Dans les cas de conditions aux limites de type Dirichlet, quatre alternatives pour atteindre une convergence d'ordre deux ont été présentées, dont trois peuvent être étendues afin de permettre de traiter la non-orthogonalité aux frontières de type Neumann. Les quatre variantes implémentent une correction non orthogonale pour les conditions aux limites de type Neumann et Dirichlet en reconstruisant le gradient dans les cellules voisines à la frontière et les quatre présentent des résultats similaires en termes de convergence et de précision. Plusieurs tests de convergence permettent de faire des comparaisons entre les résultats utilisant les nouveaux schémas et les résultats utilisant le code original. Enfin, nous avons détecté une “petite” perte de convergence provenant de la libraire de reconstruction du gradient pour une méthode aux moindres carrés, due à la reconstruction des vecteurs de moindres carrés (les vecteurs de liaison) à la frontière dans les cas de maillages non orthogonaux. On propose une correction du calcul de ces vecteurs. Dans ce document, on fait une synthèse des deux articles qui expliquent les détails techniques et théoriques de la méthode de vérification qui a permis l'identification de la source de perte de convergence : le traitement de la non-orthogonalité pour des conditions aux limites Dirichlet ou Neumann. De plus, on décrit les différentes stratégies pour obtenir des conditions aux limites de deuxième ordre. Finalement, la contribution principale de cette thèse est une amélioration de la convergence des librairies OpenFOAM dans le traitement aux limites des types Dirichlet et Neumann, ce qui résulte en des simulations numériques plus fiables.