Algorithmes de dénombrement d'extensions linéaires d'un ordre partiel et application aux problèmes d'ordonnancement disjonctif

En programmation par contraintes, une contrainte de ressource unaire est un ensemble de permutations valides des activités chacune avec une fenêtre de temps et une durée. Cette contrainte est généralisée si on considère des préséances entre activités données sous la forme d'un ensemble partiellement ordonné. Un problème d'ordonnancement disjonctif peut être modélisé par une ou plusieurs contraintes de ressource unaire auxquelles s'ajoutent des contraintes supplémentaires telles que des disjonctions entre activités de différentes ressources ou des contraintes de séquences. La recherche d'une solution au problème se fait par une série de décisions de la position relative d'une paire d'activités associées à une contrainte dont l'ordre n'est pas encore connu. L'algorithme utilisé dans le choix de la paire ainsi que la position relative est appelé heuristique de branchement. Dans le contexte de l'heuristique maxSD, il s'agit de calculer les densités de solutions de toutes les assignations de paires d'activités à un ordre et ensuite de brancher sur celle de densité maximum. Pour adapter cette heuristique aux problèmes d'ordonnancement avec contraintes de ressource unaire, on considérera les densités de permutations dans lesquelles une activité est placée avant l'autre dans l'ordre partiel associé à chaque contrainte. Pour ce faire, on propose deux algorithmes exact et heuristique pour le calcul des densités de permutations dans un ensemble partiellement ordonné. Ces algorithmes sont utilisés dans l'heuristique de branchement pour résoudre la version de satisfaction de contraintes du problème Job-Shop, un cas typique d'ordonnancement avec ressources unaires.

Abstract

In constraint programming a unary resource constraint is a set of valid permutations of activities each with a time window and a duration. This constraint is generalized if we consider precedence constraints between activities given by a partially ordered set. A disjunctive scheduling problem can be stated as a combination of one or more such constraints for which some additional constraints such as disjunction or sequence of activities on different resources may be added. In this model, a solution is found by a series of decisions on the relative po- sition of a pair of activities on a same resource and for which the order is unknown. The algorithm used to select the pair and the order is called a branching heuristic. In the context of maxSD, densities of all assignments of pairs and order are computed and the assignment of maximum density is selected. In order to adapt this heuristic for scheduling problems with unary resources, we will consider the permutations of the partial order in which the rank of an activity is superior to another. For that, we propose exact and heuristic algorithms that compute the density of permutations in a partially ordered set. These algorithms are then used in branching to solve the constraint satisfaction version of the Job-Shop scheduling problem, a typical use case of scheduling with unary resource constraints.