Grammar-Based Decomposition Methods for Multi-Activity Tour Scheduling

Les problèmes de planification d'horaires du personnel consistent à sélectionner un ensemble de quarts de travail en respectant certaines règles, et à assigner un certain nombre d'employés à chaque quart de travail, de sorte à satisfaire la demande de personnel. Ces problèmes sont généralement classés en trois catégories: planification des quarts de travail, planification des jours de repos et planification des patrons de travail. La première catégorie a pour but d'assigner les périodes de travail et de repos aux quarts de travail, et à sélectionner un ensemble de ces quarts de travail pour satisfaire les besoins en personnel. En planification des quarts de travail, l'horizon de planification est en général d'une journée, divisée en périodes de longueurs égales. La deuxième catégorie vise à sélectionner les jours de repos de chaque employé sur un horizon de planification d'au moins une semaine. Cette sélection est généralement contrainte par les préférences des employés ou par des conventions collectives. La dernière catégorie comprend les problèmes qui découlent de l'intégration des problèmes de planification des quarts de travail et de planification des jours de repos. Dans la version continue du problème de planification des patrons de travail, les quarts de travail peuvent s'étendre sur deux jours. Par contre, dans la version discontinue les quarts de travail doivent couvrir une seule journée. Différentes extensions du problème de planification d'horaires du personnel apparaissent lorsque des applications réelles sont considérées. Par exemple, dans les problèmes de planification des quarts multi-activités (MASSP) ou planification des patrons de travail multi-activités (MATSP), en plus de la définition des périodes de travail et de repos, des activités de travail différentes doivent être attribuées aux quarts de travail. Dans un contexte de multi-activités, les caractéristiques spécifiques liées aux règles de travail, aux conventions collectives, aux compétences des employés et à leurs préférences définissent un ensemble de règles à respecter pour construire les horaires des employés. D'autre part, le MASSP et le MATSP peuvent être soit personnalisés soit anonymes. Dans le premier cas, les employés ont des compétences et des préférences différentes, alors qu'elles sont identiques dans le second. Le problème peut également être stochastique, dans ce cas les besoins en employés (la demande) est incertaine. Dans cette thèse, nous aborderons trois catégories de MATSP : 1) MATSP discontinu, personnalisé, avec demande déterministe; 2) MATSP discontinu, anonyme avec demande déterministe; 3) MATSP discontinu, anonyme, avec demande stochastique. Pour résoudre ces problèmes, nous proposons différentes techniques de modélisation et de résolution qui sont principalement basées sur les méthodes de décomposition et les langages formels. Notre première contribution réside dans la conception de deux méthodes de type branch-and-price (B&P) pour aborder l'intégration de deux problèmes : le MASSP personnalisé et le problème de planification des patrons de travail discontinu. Chaque algorithme B\&P repose sur une formulation mathématique différente. La première formulation (formulation basée sur les jours) est une extension naturelle du MASSP personnalisé, ou les colonnes correspondent aux quarts de travail multi-activités, et les patrons de travail sont assemblés dans le problème maitre en utilisant des contraintes supplémentaires. Dans la seconde formulation (formulation basée sur les patrons de travail), le sous problèmes consistent à construire les quarts de travail multi-activités ainsi qu'à choisir les jours de repos. Par conséquent, dans cette formulation, les colonnes correspondent aux patrons de travail multi-activités. Dans les deux formulations, l'utilisation de grammaires nous permet de modéliser toutes les règles de travail pour la composition des quarts de travail, et de déduire des structures de graphes spéciales permettant de trouver les quarts de travail avec un coût réduit négatif. Une comparaison expérimentale et théorique de la qualité des bornes obtenues par la relaxation linéaire de chacune des formulations est réalisée. Les résultats montrent que la formulation basée sur les patrons de travail est meilleure (relativement aux bornes obtenues par la relaxation linéaire) que la formulation basée sur les jours. De plus, nos expériences montrent d'une part que les approches de modélisation proposées peuvent traiter une grande variété de règles sur les quarts de travail et sur les patrons de travail, et d'autre part que les méthodes implémentées peuvent résoudre efficacement des versions réalistes du problème. Les approches proposées sont clairement pertinentes en pratique, cependant des problèmes liés à la taille du modèle apparaissent lorsque le nombre d'activités et d'employés augmentent. La seconde contribution est une approche qui combine la décomposition de Benders et la génération de colonnes pour résoudre le problème intégrant le MASSP anonyme et la planification des patrons de travail discontinue. Afin de résoudre les problèmes de croissance des modèles et de symétrie associés aux nombres d'activités et d'employés, une autre façon de modéliser le MATSP est présentée. Les quarts de travail multi-activités sont implicitement générés par un modèle de programmation en nombres entiers basé sur une grammaire, alors que les patrons de travail sont explicitement composés via la génération de colonnes. Comme les sous-problèmes de l'approche de Benders sont des MIP qui n'ont pas la propriété d'intégralité, nous présentons une stratégie qui combine la génération de coupes de Benders classiques avec des coupes de Benders entières afin de garantir la convergence de la méthode. Les résultats expérimentaux montrent : 1) la capacité de notre approche à résoudre des cas pratiques impliquant un grand nombre d'employés et d'activités de travail; 2) que l'approche combinant la décomposition de Benders et la génération de colonnes à de meilleures performances que la méthode B&P pour le MATSP discontinu anonyme. Notre dernière contribution présente une approche de programmation stochastique en deux étapes pour résoudre le MATSP stochastique, discontinu, et anonyme. Les décisions de la première étape correspondent à l'affectation des employés aux patrons de travail. Les décisions de la deuxième étape (actions de recours) sont associées à la répartition des activités de travail et des pauses dans les quarts de travail. Une heuristique de type multi-cut L-shaped est présentée. Les expériences montrent que les performances de la méthode dépendent du profil de la demande, et que l'utilisation du modèle stochastique permet de réduire les coûts, en comparaison avec l'espérance de la solution moyenne.

Abstract

Personnel scheduling problems consist in constructing a set of feasible shift schedules and assigning them to the company staff to satisfy a given demand for staff requirements. These problems are typically classified into three main categories: shift scheduling, days-off scheduling and tour scheduling. The first category deals with the specification of work and rest periods to assign to shifts, as well as the selection of a set of those shifts to satisfy the demand for staff requirements. In shift scheduling, the planning horizon is usually one day divided into time periods of equal length. The second category involves the selection of days-off over a planning horizon of at least one week. Such selection is usually restricted by employee preferences or workplace agreements. The last category includes problems that arise from the integration of shift scheduling and days-off scheduling. The continuous version of the tour scheduling problem appears when shifts are allowed to span from one day to another. The discontinuous version arises when shifts span only one working day. Different extensions of classical personnel scheduling problems appear when real applications are considered. For instance, when more than one work activity has to be scheduled, the multi-activity shift scheduling (MASSP) and the multi-activity tour scheduling (MATSP) problems appear. In both extensions not only the specification of work and rest periods is necessary, but also the assignment of work activities to the shifts. In a multi-activity context, specific characteristics related to work rules, workplace agreements, and employee skills and preferences define the rules to build the schedule of employees. The MASSP and the MATSP can further be distinguished as personalized and anonymous problems. In the former, employee skills and preferences are different. In the latter, employee skills and preferences are identical. Additionally, if employee requirements (demand) is uncertain, the stochastic version of the problems appears. In this thesis we address three categories of the MATSP: 1) the discontinuous MATSP when employees have different skills and demand is deterministic; 2) the discontinuous MATSP when employees are identical and demand is deterministic; 3) the discontinuous MATSP when employees are identical and demand is stochastic. To address these problems we propose different modeling approaches and solution techniques which are mainly based on decomposition methods and formal languages. Our first contribution lies in the proposal of two branch-and-price (B&P) methods to address the integration of two problems: the personalized MASSP and the discontinuous tour scheduling problem. Each B&P algorithm is based on a different mathematical formulation. The first formulation (daily-based formulation) arises as a natural extension of the personalized MASSP, where columns correspond to multi-activity shifts and tours are assembled into the master problem by means of extra constraints. The second formulation (tour-based formulation) aims to include, in the subproblem level, the construction of multi-activity shifts and the assembling of days-off. Therefore, in this formulation the set of columns correspond to multi-activity tours. In both formulations, the use of grammars allows us to model all the work rules for the composition of shifts and to derive specialized graph structures used to find the shifts with negative reduced cost. An experimental and theoretical comparison on the quality of the LP relaxation bounds achieved by each formulation is made. The results show that the tour-based formulation is strong in terms of its LP relaxation bound, when compared with the daily-based formulation. Additionally, computational experiments suggest that the modeling approaches proposed can handle a wide variety of rules over shifts and tours and that the solution methods implemented efficiently solve realistic versions of the problem. However, while the practical relevance of the approaches is clear, convergence and scalability issues arise when the number of work activities and employees increases. As a second contribution we present an approach that combines Benders decomposition and column generation to solve the integration of the anonymous MASSP and the discontinuous tour scheduling problem. The aim of the approach is to present an alternative way to model the MATSP in order to solve the scalability and symmetry issues associated with the number of work activities and employees. While multi-activity daily shifts are implicitly generated with a grammar-based integer programming model, tour patterns are explicitly composed via column generation. Because Benders subproblems are MIP programs that do not possess the integrality property, we present an alternative algorithmic strategy that combines the generation of classical Benders cuts with integer Benders cuts to guarantee the convergence of the method. Experimental results show: 1) the capability of our approach to solve practical instances involving a large number of employees and work activities; 2) the combined Benders decomposition and column generation approach outperforms a B&P method that solves the anonymous discontinuous MATSP. Our last contribution consists in the introduction of a two-stage stochastic programming approach to solve the discontinuous stochastic MATSP for employees with identical skills. The problem is formulated as a two-stage stochastic programming model. First-stage decisions correspond to the assignment of employees to weekly tours. Second-stage decisions (recourse actions) are related to the allocation of work activities and breaks to daily shifts. A heuristic multi-cut L-shaped method is presented as a solution approach. Computational results show that the performance of the method depends on the demand profile used and that the use of the stochastic model helps to prevent additional costs, when compared with the expected-value problem solutions.