Champ distance d'un solide paramétrique

Ce mémoire présente une méthode novatrice de calcul du champ distance d'un solide paramétrique. Bien que de nombreux travaux aient déjà été préalablement réalisés sur le champ distance d'une géométrie polygonale, aucune solution n'avait encore été apportée pour obtenir celui d'une géométrie paramétrique. Le champ distance est un ensemble compact et fermé d'un espace euclidien, pour lequel est dénie en tout point la distance euclidienne minimale permettant de rejoindre la surface d'un solide. Le champ distance est calculé numériquement en résolvant une équation de transport basée sur l'équation Eikonal. L'équation Eikonal est une équation aux dérivées partielles du premier ordre, dites d'Hamilton-Jacobi. La résolution de l'équation Eikonal est un problème hyperbolique et non linéaire. Notre méthode repose sur le transport de conditions limites qui dépendent de la géométrie. L'information se propage le long des courbes caractéristiques à partir des conditions limites. Le caractère non linéaire du problème conduit à la formation de chocs, selon la loi de conservation hyperbolique. Nous avons utilisé une méthode de balayage, appelée Fast-Sweeping, pour résoudre l'équation Eikonal. Cette méthode consiste à discrétiser l'espace autour du solide à l'aide d'une grille cartésienne, puis à propager les conditions frontières en résolvant numériquement l'équation Eikonal selon un schéma de Godunov. La méthode de résolution peut être subdivisée en deux étapes. Dans un premier temps, il est nécessaire d'initialiser les conditions frontières. Dans un deuxième temps, l'équation Eikonal est résolue en utilisant plusieurs balayages alternés de Gauss-Seidel L'initialisation des conditions frontières est l'étape la plus importante et aussi la plus dicile à mettre en oeuvre lors du calcul du champ distance d'un solide. Les conditions limites sont constituées des noeuds limitrophes à la géométrie. Nous avons donc dû développer un algorithme permettant de détecter et d'initialiser précisément les noeuds frontières. Ces noeuds sont initialisés avec la valeur de la plus courte distance euclidienne permettant de rejoindre le solide. Cette distance minimale est obtenue en mesurant la longueur entre le noeud et sa projection sur la surface du solide.