Algorithmes de moindres carrés non linéaires en précision mixte avec applications aux problèmes d'ajustement de faisceaux

Cette maîtrise explore les différentes méthodes de résolution des moindres carrés non-linéaires présentes dans la littérature, les compare et détermine lesquelles sont les plus adaptées pour la résolution de grands problèmes creux. En particulier, nous proposons des alternatives aux problèmes mal conditionnés. Pour cela, nous avons commencé par étudier en détail les problèmes de moindres carrés non-linéaires et l’algorithme de Levenberg-Marquardt. Nous nous sommes ensuite concentrés sur la méthode de résolution du sous-problème et en particulier les méthodes de résolution inexacte du sous-problème. Nous avons d’abord étudié les méthodes proposées par Ceres, un logiciel de résolution de moindres carrés non linéaires qui représente l’état de l’art en la matière. Nous avons ensuite proposé une reformulation du problème qui permet l’utilisation de différentes méthodes itératives et préconditionneurs. Nous implémentons ces différentes méthodes de résolution en Julia pour les comparer et intégrer différentes technologies comme la précision mixte, la différentiation automatique, et le calcul sur GPUs. Nos résultats montrent que la reformulation du sous-problème de moindres carrés linéaires sans former les équations normales permet de réduire d’un facteur important le conditionnement des matrices. De plus, l’utilisation de précision mixte, et GPUs, si elle est faite de manière optimale, permet une accélération notable des calculs. Enfin, la différentiation automatique permet de généraliser notre code pour tous les problèmes dont on ne dispose pas d’un détail de la matrice jacobienne.