Développement d'une méthode de Boltzmann sur réseau pour la simulation d'écoulements visqueux en cuves agitées

La caractéristique principale des écoulements visqueux est leur forte résistance à l'écoulement. Comme la prédominance des forces visqueuses empêche la génération de turbulence, la forme de l'écoulement est principalement affectée par la géométrie du problème, la rhéologie du fluide et la présence de plusieurs phases. La simulation de tels écoulements requiert donc l'utilisation d'un outil numérique capable de traiter précisément les géométries, les rhéologies et les interactions entre les phases. Dans la cadre de cette thèse, l'étude des méthodes numériques a pour objectif d'améliorer la simulation des écoulements visqueux en cuves agitées. La simulation des écoulements dans les mélangeurs permet de compléter les informations obtenues lors des mesures expérimentales. Par exemple, les approches numériques permettent de visualiser facilement les écoulements à l'intérieur du système de mélange, ainsi que de caractériser des grandeurs globales comme le pompage. Pour autant, les résultats ne sont intéressants que si l'on maitrise l'impact des différents paramètres numériques sur la précision. Le cas des mélangeurs industriels spécialisés pour les liquides visqueux concentre un très grand nombre de difficultés. Premièrement, la géométrie du système de mélange est complexe et évolue au cours du temps. En effet, ce type de mélangeur utilise des formes de pales complexes afin de réaliser le mélange. De plus, les pales doivent racler la cuve pour prévenir la stagnation du liquide, ce qui crée des espacements faibles comparativement à la taille du système. Deuxièmement, les propriétés physiques du mélange sont généralement compliquées. La difficulté réside ici dans la modélisation de l'interaction entre les phases ou entre les différents liquides. Dans le cas de l'étude de l'agitation, caractérisée par la simulation d'une seule phase liquide homogène, la difficulté se concentre sur la rhéologie du liquide. Dans le cadre de cette thèse, nous nous limiterons à l'étude de l'agitation. Malgré ces difficultés, plusieurs travaux de recherche ont été effectués sur la simulation du mélange visqueux dans des cuves agitées utilisées dans l'industrie. Il ressort de ces articles que ce sont principalement les méthodes d'éléments et de volumes finis qui sont utilisées. Malgré des simplifications astucieuses pour faciliter le traitement de la géométrie (tels que les changements de repère ou les conditions aux limites immergées), la simulation des systèmes de mélange entraine un compromis entre la précision des résultats et les temps de calcul. Cette contrainte peut devenir un facteur limitant pour des géométries très complexes et/ou des rhéologies largement non newtoniennes. Cela s'explique principalement par la taille et la complexité du système d'équations obtenu. Ainsi, dans la littérature, les travaux se situant à l'échelle industrielle se limitent généralement à une seule phase liquide. Certaines simulations polyphasiques sont pourtant réalisées, mais souffrent de temps de calcul très importants et/ou d'approximations affectant globalement la précision. Afin de dépasser ces contraintes, il semble pertinent d'utiliser une méthode efficace pour le calcul parallèle et qui permet de traiter facilement des géométries et des rhéologies complexes. C'est pour cette raison que la méthode de Boltzmann sur réseau est utilisée dans cette thèse. La méthode de Boltzmann sur réseau « lattice Boltzmann method (LBM) », basée sur la théorie cinétique des gaz, part du principe que la simulation du mouvement de particules de fluide à une échelle physique plus petite (mésoscopique), va permettre d'obtenir le comportement macroscopique du fluide. Ainsi, à partir de l'équation de Boltzmann, la solution des équations de Navier-Stokes peut être obtenue. L'avantage de ce schéma numérique est qu'il est explicite et basé sur des calculs simples et locaux, ce qui lui confère une très bonne efficacité pour le calcul parallèle. À l'inverse, ce changement d'échelle physique comporte aussi des inconvénients, comme la difficulté d'imposer des conditions aux limites macroscopiques. Malgré des approximations sur les phénomènes aux frontières, la LBM a été appliquée avec succès pour la simulation d'écoulements en milieux poreux et de suspensions solide-liquide. L'objectif principal de cette thèse est de développer une méthode de Boltzmann sur réseau efficace pour la simulation d'écoulements visqueux en cuves agitées. Pour ce faire, il est nécessaire d'étudier l'applicabilité des différentes stratégies pour l'imposition des conditions aux limites et de caractériser la précision de la LBM dans le cas de géométries complexes. Finalement, il est aussi intéressant d'étudier l'applicabilité de la LBM pour des rhéologies complexes. L'article 1 montre que, dans le cas de géométries courbes (Couette cylindrique et mélangeurs), la précision du schéma LBM est largement affectée par le choix de la stratégie d'imposition de conditions aux limites. Par exemple, dans le cas des mélangeurs raclants, l'approche dite des conditions aux limites immergées « immersed boundary method (IBM) » apparait comme étant moins adaptée. À l'inverse, l'approche la plus simple « modified bounce back-rule (MBB) », basée sur la règle du rebond, et l'approche plus élaborée « extrapolation method (EM) », qui extrapole les populations en fonction de la distance à l'obstacle, donnent la même précision sur les grandeurs caractéristiques des mélangeurs. Cependant, comme seule la stratégie EM permet d'étudier précisément l'impact d'une petite variation de la géométrie, cette approche est sélectionnée pour la suite des travaux. L'article 2 montre ensuite que la LBM, couplée avec la méthode d'extrapolation, permet d'obtenir une précision adéquate pour la simulation de la consommation de puissance et de la capacité de pompage du système de mélange Maxblend. Elle permet aussi d'étudier l'impact de paramètres géométriques comme l'espacement entre la pale et le fond de la cuve. De plus, dans le cas d'une géométrie variable dans le temps (configuration avec contre-pales), la précision reste bonne même si les vitesses sont perturbées aux alentours de la pale. Finalement, l'article 3 montre que, sous certaines limitations sur nombre de Reynolds, la LBM peut être utilisée efficacement pour la simulation d'écoulements fortement non newtoniens. Ainsi, dans le cas du système de mélange Maxblend, un modèle rhéologique de type loi de Carreau-Yasuda avec un indice de puissance de 0.05 a pu être simulé sans affecter largement les temps de calcul. En conclusion, cette thèse a permis de montrer que la LBM peut être utilisée efficacement pour la simulation des écoulements dans les mélangeurs industriels spécialisés pour les liquides visqueux. Il a même été montré que cette approche pouvait être utilisée pour faire de l'optimisation géométrique des systèmes de mélange. De plus, sous certaines contraintes relatives au régime d'écoulement, il a aussi été montré que la LBM permettait de simuler l'agitation de liquides avec des comportements fortement non newtoniens.