Étude du bruit de procédé et de mesure pour des systèmes avec contrôleurs commutants dans un cadre scalaire et stationnaire

Les procédés chimiques sont constamment soumis à la variabilité des conditions d'opération, par exemple: la concentration des réactifs, l'activité des catalyseurs, etc. Il en résulte que les produits de ces réactions exhibent une certaine variabilité. Cette variabilité a un coût puisque si les caractéristiques d'un produit dépassent certaines contraintes, il devient un risque litigieux s'il est vendu au client. Une des façons de calculer le coût de la variabilité implique l'utilisation des fonctions de densité de probabilité(FDP). Dans un autre ordre d'idées, les contrôleurs commutants sont fréquemment utilisés dans l'industrie pour des scénarios où il y a une contrainte à ne pas dépasser. Par conséquent, l'objectif de cette thèse est l'analyse des FDP produites par des contrôleurs commutants avec des procédés bruités. Le premier objectif a été de développer une expression analytique de la FDP d'un système bruité avec un contrôleur commutant avec l'aide de l'équation de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK). Cette expression analytique a été ensuite appliquée à un exemple de formage de FDP. Ainsi, deux types de non-linéarités ont pu être comparés. Il en résulte que le contrôleur commutant est plus robuste qu'un contrôleur polynomial (où la variable manipulée est une fonction polynômiale de l'écart entre le point de consigne et l'état), mais il ne peut émuler des FDP complexes (comme des bimodales). Le deuxième objectif a été d'obtenir une expression analytique d'un contrôleur commutant pour un système avec bruit de mesure. La difficulté du problème réside dans le fait que le bruit de mesure entre de façon non linéaire dans le système. Par conséquent, l'équation de FPK ne peut être utilisée directement. Il a fallu développer une nouvelle méthode analogue à une approximation de Taylor, mais stochastique. Ce qui donne une expression analytique qui doit être résolue numériquement, diminuant considérablement le temps pour obtenir une FDP comparé au temps d'une simulation de Monte-Carlo. Cette expression analytique a été validée et il a été possible d'analyser certains effets du système sur la FDP, le plus important étant que le bruit de mesure avec un contrôleur non linéaire induit une translation de la FDP. Le troisième objectif est d'analyser l'optimalité d'une FDP asymétrique face à une FDP symétrique. Il a été plutôt prouvé qu'une FDP symétrique n'est pas optimale sous certaines conditions. Cela veut dire que sous certaines conditions, un contrôleur non linéaire asymétrique va donner de meilleurs résultats qu'un contrôleur symétrique. Ces trois conditions sont la présence de bruit de procédé, l'asymétrie de la fonction coût et la présence de la variable manipulée dans la fonction à minimiser. Si une de ces conditions n'est pas respectée, alors le contrôleur symétrique redevient optimal. Le quatrième objectif est l'extension du troisième objectif avec du bruit de mesure. Le problème est que l'expression analytique n'est pas intégrable comme dans le cas précédent. Alors, seulement les résultats des résolutions numériques des expressions développées sont utilisées. Ceux-ci ont permis d'affirmer que ces mêmes conditions sont valables quand il y a du bruit de mesure. Cependant, l'utilisation d'un contrôleur asymétrique est moins avantageuse quand le bruit de mesure est élevé. Par la suite, l'optimalité du système a été testée sans la condition sur la variable manipulée. Il a été observé que le contrôleur asymétrique est optimal seulement s'il est possible qu'un des deux gains soit supérieur au gain à variance minimale, ce qui va à l'encontre des théorèmes mathématiques développés à propos de la variance minimale. Cela montre les limites de l'approximation développée. En conclusion, il a été possible de développer une expression analytique de la forme de la FDP d'un système avec un contrôleur commutant, et ce pour les cas sans et avec bruit de mesure. De plus, il a été possible de poser les conditions sous lesquelles un contrôleur asymétrique est optimal.

Abstract

Chemical processes are constantly submitted to the variability of the operating conditions, for example: reactants concentration, activity of the catalysts. It results that the reactions products also show variability. This variability has a cost since if the product concentration violates certain constraints, it becomes a litigious risk if it is sold to the customer. One of the methods to calculate the cost of variability necessitate the utilization of the probability density function (PDF). Switching controllers are used in the industry in scenarios where there are constraints to satisfy. Consequently, the objective of this thesis is the analysis of PDF produced by switching controllers with noisy processes. The first objective is to develop an analytical expression for a PDF of a system with process noise and a switching controller. It has been obtained with the Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK) equation. This expression has been applied to an example of PDF shaping. Therefore, two types of non linearity were compared . It has came to light that the switching controller is more robust than a polynomial controller (where the manipulated variable is a function of a polynomial expression of the error), but it has difficulties to emulate complex PDF like a bimodal PDF. The second objective is to develop an analytical expression for a switching controller and a process and measurement noise. The difficulty of the problem comes from the fact that the measurement noise enters the system nonlinearly, meaning that the FPK equation cannot be used directly. It has been necessary to develop a method which is analog to the Taylor approximation but in a stochastic context. An analytical expression has been obtained, but it it has to be resolved numerically. It reduces considerably the computing time to obtain a PDF compared to the Monte-Carlo method. The analytical expression has been validated and it has been possible to analyze certain effects of the system on the PDF. The most important is that the measurement noise and a nonlinear controller will induce a translation of the PDF. The third objective is to analyze the optimality of an asymmetrical PDF vis-à-vis the a symmetrical one. It has been proved that, under certain conditions, a symmetrical PDF is not optimal, which means that under those same conditions, an asymmetrical controller will give better results than a symmetrical one. Those conditions are the presence of process noise, an asymmetrical cost function and this cost function has to take account of the manipulated variable. If one of those condition is absent, the symmetrical controller remains optimal. The fourth objective is the extension of the previous results to the case with measurement noise. The problem is that there was no analytical expression that could be used as previously. So, numerical solutions were used. They have allowed to affirm that the three conditions are also valid with measurement noise, but the measurement noise decrease the economical difference with the symmetrical controller. After, the manipulated variable has been removed to see if the switching controller remains optimal. It has been observed that the asymmetrical controller remains optimal only if one the the gain is higher than the minimum variance gain. Which goes against the minimum variance theory and shows the limits of the developed approach. In conclusion, it has been possible to develop an analytical expression of the shape of the PDF of a system with a switching controller, and this for the cases with and without measurement noise. It has been possible to obtain see the effects of the measurement noise like the shift, and also to pose conditions under a switching controller is optimal vis-à-vis a constant controller.