Systems of Differential-Algebraic Equations Encountered in the Numerical Modeling of High-Temperature Superconductors

L'objectif principal de ce mémoire est d'étudier les systèmes d'Équations Différentielles et Algébriques (EDA) qui apparaissent lors de la modélisation numérique d'équipements électriques supraconducteurs à Haute Température Critique (HTC). Ces systèmes d'équations ainsi que le comportement non linéaire des matériaux supraconducteurs sont possiblement responsables des difficultés rencontrées lors de simulations numériques de ces appareillages. Dans la littérature, beaucoup d'attention a été portée aux problèmes liés à la nonlinéarité des matériaux, mais, au meilleur de notre connaissance, aucune étude des systèmes d'équations différentielles et algébriques n'a été répertoriée. Ainsi, il est essentiel d'approfondir nos connaissances à leur sujet dans le cadre de la simulation numérique d'équipements supraconducteurs à HTC. Dans ce document, nous présentons une revue de la théorie des supraconducteurs de type I et de type II. Cette revue nous permet de bien comprendre le potentiel des supraconducteurs à HTC en électrotechnique. Ces derniers se démarquent notamment par leur capacité à opérer en fort champ et par leur température critique élevée. Nous discutons que la simulation numérique d'équipements supraconducteurs permet de les optimiser à faible coût en améliorant certaines caractéristiques d'opération tel que les pertes en courant alternatif. Ensuite, nous présentons les principaux modèles physiques utilisés pour modéliser les équipements supraconducteurs. Plus précisément, nous décrivons un modèle 1-D utilisant une formulation en flux magnétique. Ce modèle est relativement simple mais son équation aux dérivées partielles possède une solution analytique connue. Ce modèle est donc utile pour s'introduire à la discipline et vérifier une méthode numérique implémentée dans un code. Puis, nous présentons des modèles 2-D et 3-D qui utilisent la formulation en champs magnétique. Ces modèles sont une meilleure approximation de la réalité que le modèle 1-D. Ils peuvent notamment considérer des matériaux de différentes natures et géométries. Cependant, ils sont plus complexes. Finalement, nous présentons un modèle qui utilise la formulation en potentiel vecteur magnétique sous sa forme intégrale. Ce modèle peut tenir compte d'effets 3-D en utilisant la bonne définition pour l'intégrale du potentiel vecteur. Nous présentons deux méthodes numériques pour discrétiser les équations des modèles physiques dans l'espace, soit la Méthode des Éléments Finis (MEF) et la Méthode Semi-Analytique (MSA). Nous montrons que la MEF est utilisée pour discrétiser une forme faible des équations à l'aide d'une approximation discrète de la solution sur un maillage constitué d'éléments. Nous introduisons deux types d'éléments: les éléments finis nodaux et les éléments d'arrête (edge elements). Finalement, nous présentons brièvement la MSA qui est utilisée pour discrétiser dans l'espace les équations de la formulation en potentiel vecteur magnétique sous sa forme intégrale. Cette méthode consiste à trouver une expression analytique reliant des champs et des potentiels aux termes sources sur une certaine discrétisation puis à résoudre le système d'équations résultant numériquement. Il s'agit d'une méthode à collocation par point.

Abstract

The main objective of this thesis is to study the systems of Differential-Algebraic Equations (DAE) encountered in the numerical modeling of electrical devices made of High-Temperature Superconductors (HTS). These systems of equations and the nonlinear behavior of HTS are possibly responsible for the difficulties faced when simulating HTS devices. In the literature, much attention is paid to the issues related to the nonlinearity of HTS but, to the best of our knowledge, there is no in-depth study of the problems related to the systems of DAE. Consequently, it is essential to improve our knowledge about those systems, in the context of HTS modeling. In this document, we review the theory of type I and type II superconductors. This review is useful to understand the potential of HTS materials for power engineering applications. Their potential is mainly due to their ability to operate in strong fields and their high critical temperatures. We discuss that numerical simulation can be used to optimize HTS devices at low cost, by improving some quantities of interest, e.g.\ AC losses. We introduce the main physical models used for the modeling of HTS devices. We describe a 1-D model based on a magnetic flux density formulation. This model is relatively simple but has a known analytical solution for a nonlinear HTS problem. It is convenient to use as an introduction to the methodology used in this thesis and to verify a code. Then, we introduce a 2-D and a 3-D model based on a magnetic field formulation. These models provide a better representation of the reality than the 1-D model. They can consider materials with different properties and complex geometries. However, they are more complicated than the 1-D model. Finally, we review a model based on a magnetic vector potential formulation in integral form (A-V). This model can take into account 3-D effects by using the proper definition for the magnetic vector potential integral. We summarize two numerical methods to discretize the equations of the physical models in space, i.e.\ the Finite Element Method (FEM) and the Semi-Analytical Method (SAM). The FEM is used to discretize a weak form of the equations of the models using a discrete approximation of the solution over a mesh made of geometrical elements. We introduce two types of elements: nodal elements and edge elements. Then, we review the SAM, a numerical method used to discretize the equations of the magnetic vector potential formulation in integral form. It is a collocation method. We introduce systems of DAE. These systems of equations are obtained after discretizing the equations of the physical models in space. We discuss that the mathematical structure of a system of DAE can be described by a notion called the index. The index is the number of derivation required for a system of DAE to become a system of Ordinary Differential Equations (ODEs). We note that systems of DAE of index 2 in Hessenberg form are recurrent in variational problems. Subsequently, we discuss three strategies to discretize systems of DAE in time, i.e.\ direct discretization, reduction of the index and reformulation into semi-explicit form. The direct discretization strategy consists in applying directly an implicit time integration scheme to a system of DAE without reducing its index. In most cases, this yields a system of nonlinear equations. The reduction of index consists in reducing the index of the system of DAE and then reassess its structure. Systems of DAE of index 0 can be reformulated into a semi-explicit form and then discretized using an explicit method. We introduce two time transient solvers that use the direct discretization strategy, i.e. Differential-Algebraic System SoLver (DASSL) and Implicit Differential-Algebraic Solver (IDAS).