Simulations stochastiques par rapiéçage de motifs avec contrôle des statistiques

Dans cette thèse, nous présentons deux méthodes de simulation stochastique qui procèdent de manière similaire à la construction d'un casse-tête en assemblant des morceaux carrés d'image, d'où le nom de simulations stochastiques par rapiéçage de motifs. Les morceaux sont prélevés dans une image de référence qui fournit les informations sur les propriétés statistiques du champ aléatoire à reproduire. Nos méthodes de simulation mettent l'accent sur la continuité des motifs lors du rapiéçage. De plus, nos méthodes de simulation permettent de respecter la présence de données conditionnantes (hard data). Pour ce conditionnement, nous limitons le choix des morceaux d'image à ceux qui respectent les données conditionnantes. Afin d'éviter le problème de dérive des statistiques, nous présentons une méthode de contrôle reposant sur le contrôle de l'histogramme de la moyenne locale. Pour contrôler cet histogramme, nous classons dans une partition les morceaux de l'image de référence en fonction de la valeur moyenne de leurs pixels. En plus de pouvoir reproduire l'histogramme de la moyenne locale de l'image de référence, les simulations peuvent reproduire un histogramme quelconque défini par l'usager. La première méthode de simulation, appelée patchwork simulation method (PSM), procède de gauche à droite et de haut en bas en collant des morceaux d'image de l'image de référence. Cette méthode de simulation est apparentée à un champ de Markov où le contrôle de la moyenne locale s'effectue en choisissant adéquatement les probabilités de transition. La deuxième méthode de simulation, appelée corrective pattern-matching simulation (CPMS), procède en effectuant des corrections de manière itérative. Cette méthode est apparentée à un algorithme glouton, car à chaque étape elle apporte une correction à un emplacement présentant une grande erreur dans l'objectif de tendre vers un optimum global. Pour différents types d'images de synthèse et pour une image d'un mélange de polymère, nous montrons que nos simulations respectent les données conditionnantes, reproduisent l'aspect visuel des images de référence et permettent d'obtenir des histogrammes de la moyenne locale qui sont statistiquement conforme à l'histogramme visé.

Abstract

In this thesis, we present two stochastic simulation methods which build two-dimensional images by assembling together square image pieces like a jigsaw puzzle. The image pieces are taken from a reference image that provides the statistical information on the simulated field. Our methods emphasize pattern continuity in the simulated image. This is achieved by suitably selecting the image pieces to fit to the existing data. Our simulations are also constrained to respect conditional data called \emph{hard data}. This conditioning is achieved by limiting the image pieces drawn from the reference image to the pieces that honor the hard data. To avoid statistical drift in our simulation methods, we introduce different ways to control the local-mean histogram. The local-mean is the average value of the pixels in a square image piece. The statistical control is achieved by partitioning all the possible image pieces of the reference image according to their local-mean. The simulations can then reproduce the local-mean histogram of the reference image. Furthermore, the simulations can also reproduce a user-defined local-mean histogram and thus produce original random fields. The first simulation method, called patchwork simulation method (PSM), proceeds unilaterally by sticking image pieces from left to right and from top to bottom. In the PSM, the local-mean histogram control is achieved by suitably adjusting the transition probabilities that associate the added data to an existing neighborhood in the partly simulated image. The second simulation method, called corrective pattern-matching simulation (CPMS), proceeds iteratively by making local corrections to the simulated image. The CPMS proceeds as a greedy algorithm in the sense that, at each step, the simulation corrects a location that presents a large error in the hope to tend towards a global optimum.For several types of synthetic images and one polymer blend image, we show that our simulations respect the conditioning data, reproduce faithfully the visual appearance of the reference images and are statistically compatible with the target local-mean histograms.